2022-1

设 $X$ 为复 Hilbert 空间，$T\in B(X)$。我们称 $T$ 为正规算子，若等式 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ 成立。求证：

1. 若任给 $x\in H$，都有 $⟨Tx,x⟩=0$，则 $T=0$
2. $T$ 为正规的当且仅当任取 $x\in X$，都有 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$
3. 举例说明当 $X$ 为实 Hilbert 空间时，第一问的结论一般不成立。

提示：对于第一问，当 $x,y\in X$ 时，可以考虑 $x+iy$ 和 $x+y$ 两个向量。

解答

1. 若任给 $x\in H$，都有 $⟨Tx,x⟩=0$，则 $T=0$

取 $x,y\in X$，则有

$$\begin{array}{rl}⟨T(x+iy),x+iy⟩& =⟨Tx+iTy,x+iy⟩\\ 0& =⟨Tx,x⟩-i⟨Tx,y⟩+i⟨Ty,x⟩+⟨Ty,y⟩\\ 0& =-i⟨Tx,y⟩+i⟨Ty,x⟩\\ ⟨Tx,y⟩& =⟨Ty,x⟩\end{array}$$

又有

$$\begin{array}{rl}⟨T(x+y),x+y⟩& =⟨Tx+Ty,x+y⟩\\ 0& =⟨Tx,x⟩+⟨Tx,y⟩+⟨Ty,x⟩+⟨Ty,y⟩\\ 0& =⟨Tx,y⟩+⟨Ty,x⟩\\ ⟨Tx,y⟩& =-⟨Ty,x⟩\end{array}$$

联立上面两式，得

$$\begin{array}{rl}⟨Tx,y⟩& =-⟨Tx,y⟩\\ ⟨Ty,x⟩& =-⟨Ty,x⟩\end{array}$$

由 $x,y$ 选取的任意性，得 $T=0$。

2. $T$ 为正规的当且仅当任取 $x\in X$，都有 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$

充分性

由 $T$ 为正规算子，得 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$，故

$$\begin{array}{rl}\Vert Tx{\Vert }^2& =⟨Tx,Tx⟩\\ & =⟨x,T^{\ast }Tx⟩\\ & =⟨x,T{T}^{\ast }x⟩\\ & =⟨T^{\ast }x,T^{\ast }x⟩\\ & =\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2\end{array}$$

故 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$。

必要性

由 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\ast }x\Vert$，得

$$\begin{array}{rl}⟨x,T^{\ast }Tx⟩& =⟨Tx,Tx⟩\\ & =\Vert Tx{\Vert }^2\\ & =\Vert T^{\ast }x{\Vert }^2\\ & =⟨T^{\ast }x,T^{\ast }x⟩\\ & =⟨x,T{T}^{\ast }x⟩\end{array}$$

故 $T^{\ast }T=T{T}^{\ast }$，即 $T$ 为正规算子。

3. 举例说明当 $X$ 为实 Hilbert 空间时，第一问的结论一般不成立。

考虑 $X={\mathbb{R}}^2$ 和旋转 $\frac{\pi }{2}$ 矩阵 $T=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$，则对于 $[x_1,x_2]\in X$，有

$$\begin{array}{rl}⟨Tx,x⟩& =⟨[x_2,-x_1],[x_1,x_2]⟩\\ & =x_1{x}_2-x_1{x}_2\\ & =0\end{array}$$

但 $T\ne 0$。