习题 6

设 $X$ 为赋范空间，$f\in X^{\ast }$。求证：$f\in X^{\prime }$ 当且仅当 $N(f)$ 为 $X$ 的闭线性子空间。

解答

充分性

$\forall x_1,x_2\in N(f),\alpha ,\beta \in \mathbb{K},f(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)=\alpha 0+\beta 0=0$，故 $\alpha x_1+\beta x_2\in N(f)$，故 $N(f)$ 为 $X$ 的线性子空间。

$\forall x_n\in N(f),x_n\to x$，由 $f\in X^{\prime }$ 知 $f$ 连续，故 $f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }0=0$，故 $x\in N(f)$，故 $N(f)$ 为 $X$ 的闭线性子空间。

必要性

$N(f)$ 为 $X$ 的闭线性子空间，故 $N(f)=\overline{N(f)}$。

若 $N(f)=X$，则 $f=0\in X^{\prime }$。

若 $N(f)⊊X$，则 $N(f)$ 不稠密，故 $\exists x_0\in X\setminus N(f),r>0,B(x_0,r)\subset X\setminus N(f)$。

假设 $f\in X^{\ast }\setminus X^{\prime }$，则 $f(B(x_0),r)$ 不是有界集，进而 $f(x_0)+rB(0,1)$ 不是有界集。

$\forall k\in \mathbb{K},\exists x_1\in B(x_0,r),|f(x_1)|>|k|$。取 $x_2=x_0-\frac{f(x_0)}{f(x_1)}{x}_1$，则 $\Vert x_2-x_0\Vert =\Vert \frac{x_0}{x_1}{x}_1\Vert =|\frac{f(x_0)}{f(x_1)}|\Vert x_1\Vert$，由 $|f(x_1)|$ 可任意大，故 $\Vert x_2-x_0\Vert$ 可任意小，故 $x_2\in B(x_0,r)$。

又 $|f(x_2)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0$，即 $x_2\in N(f)$，与 $x_2\in B(x_0,r)\subset X\setminus N(f)$ 矛盾。

故 $f\in X^{\prime }$。