习题 1.1

求证 $d_{1} (x, y) = ∣ x - y ∣$ 定义了 $R$ 上的度量。 $d_{2} (x, y) = (x - y)^{2}$ 能定义 $R$ 上的度量吗？证明你的结论。

解答

根据定义，验证 $d_{1}$ 是否满足度量的四个条件：

非负性： $d_{1} (x, y) = ∣ x - y ∣ \geq 0$
非退化性： $d_{1} (x, y) = 0 ⟺ ∣ x - y ∣ = 0 ⟺ ∣ x - y ∣ = 0 ⟺ x = y$
对称性： $d_{1} (x, y) = ∣ x - y ∣ = ∣ y - x ∣ = d_{1} (y, x)$
三角不等式： $d_{1} (x, z) = ∣ x - z ∣ \leq ∣ x - y ∣ + ∣ y - z ∣ \leq ∣ x - y ∣ + ∣ y - z ∣ = d_{1} (x, y) + d_{1} (y, z)$

故 $d_{1}$ 是度量。

对于 $d_{2}$ ，前三个条件都满足，但是不满足三角不等式，例如取 $x = 0, y = 1, z = 2$ ，则 $d_{2} (x, z) = 4 > 2 = d_{2} (x, y) + d_{2} (y, z)$ ，故 $d_{2}$ 不是度量。