2011-4

$X$ 为 Banach 空间，$f_n\in X^{\prime },\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$ 存在，定义 $f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$。求证：

1. 存在一个常数 $C$ 满足 $\Vert f_n\Vert \le C$
2. $f$ 是线性泛函
3. $f\in X^{\prime }$，且 $\Vert f\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert f_n\Vert$
4. 举例说明，如果 $X$ 不是 Banach 空间，则 3 不成立

解答

1. 存在一个常数 $C$ 满足 $\Vert f_n\Vert \le C$

$f_n(x)$ 为收敛列，则有 $\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert f_n(x)\Vert <\infty$，由一致有界原理，$\exists C>0,\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert f_n\Vert =C<\infty$。

2. $f$ 是线性泛函

$\forall x,y\in X,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{K}$，有

$$\begin{array}{rl}f(\alpha x+\beta y)& =\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(\alpha x+\beta y)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }(\alpha f_n(x)+\beta f_n(y))\\ & =\alpha \underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)+\beta \underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(y)\\ & =\alpha f(x)+\beta f(y)\end{array}$$

故 $f$ 是线性泛函。

3. $f\in X^{\prime }$，且 $\Vert f\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert f_n\Vert$

由 2 知 $f$ 为线性泛函，下证 $f$ 有界。

$\forall x\in X$，有

$$\begin{array}{rl}|f(x)|& =|\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)|\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }|f_n(x)|\\ & \le \underset{n\to \infty }{\lim }\Vert f_n\Vert \Vert x\Vert \\ & \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert f_n\Vert \Vert x\Vert \end{array}$$

故 $\Vert f\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert f_n\Vert$，即 $f\in X^{\prime }$。

4. 举例说明，如果 $X$ 不是 Banach 空间，则 3 不成立

考虑 $X=C[0,1]$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_1={\int }_0^1|x(t)|dt$，则 $X$ 不是 Banach 空间。

取 $f_n(x)=n{\int }_0^{\frac{1}{n}}x(t)dt$，下面验证 $f_n\in X^{\prime }$

$\forall x,y\in X,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{K}$，有

$$\begin{array}{rl}{f}_n(\alpha x+\beta y)& =n{\int }_0^{\frac{1}{n}}(\alpha x(t)+\beta y(t))dt\\ & =\alpha n{\int }_0^{\frac{1}{n}}x(t)dt+\beta n{\int }_0^{\frac{1}{n}}y(t)dt\\ & =\alpha f_n(x)+\beta f_n(y)\end{array}$$

故 $f_n$ 为线性泛函。

$$\begin{array}{rl}|f_n(x)|& =|n{\int }_0^{\frac{1}{n}}x(t)dt|\\ & =n|{\int }_0^{\frac{1}{n}}x(t)dt|\\ & \le n{\int }_0^{\frac{1}{n}}|x(t)|dt\\ & \le n{\int }_0^1|x(t)|dt\end{array}$$

故 $\Vert f_n\Vert \le n$，为有界线性泛函，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\frac{x(0)}{2}$。显然 $f$ 无界，故 $f\notin X^{\prime }$。