习题 17

设 $X$ 为 Banach 空间，$Y$ 为赋范空间，$T_n\in B(X,Y)$ 为一列有界线性算子，设任取 $x\in X$，$\{T_{n}x\}$ 都是 $Y$ 中的 Cauchy 列。求证：存在常数 $C\ge 0$，使得任取 $n\ge 1$，$\Vert T_n\Vert \le C$。

解答

$\{T_{n}x\}$ 为 $Y$ 中的 Cauchy 列，即 $\forall \epsilon >0,\exists N>0,n,m\ge N,\Vert T_{n}x-T_{m}x\Vert <\epsilon$。

$$\begin{array}{rl}\Vert T_{n}x-T_{m}x\Vert & \ge \Vert T_{n}x\Vert -\Vert T_{m}x\Vert \\ (取m=N)\Vert T_{n}x-T_{N}x\Vert & \ge \Vert T_{n}x\Vert -\Vert T_{N}x\Vert \\ \Vert T_{n}x\Vert & <\Vert T_{N}x\Vert +\epsilon \end{array}$$

故 $\Vert T_{n}x\Vert \le \max (\Vert T_{1}x\Vert ,\cdots ,\Vert T_{N-1}x\Vert ,\Vert T_{N}x\Vert ,\Vert T_{N}x\Vert +\epsilon )$，即 $\Vert T_{n}x\Vert$ 有界。

$X$ 为 Banach 空间，故由一致有界性原理，$\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert <\infty$，即 $\exists C\ge 0$，使得 $\forall n\ge 1$，$\Vert T_n\Vert \le C$。