习题 1

设 $p$ 为赋范空间 $X$ 上的次线性泛函，满足 $p(0)=0$，且在 $0$ 处连续，求证：$p$ 为连续映射

解答

$p$ 为次线性泛函，即 $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ 且 $p(\alpha x)=\alpha p(x)$，其中 $\alpha \ge 0$。

已知 $p$ 在 $0$ 处连续，即 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in X$，$\Vert x\Vert <\delta$ 时，$|p(x)|<\epsilon$。

对于任意 $x_0,x\in X,\Vert x\Vert <\delta$，有

$$\begin{array}{rl}p(x_0)=p(x_0+x-x)& \le p(x_0+x)+p(-x)\\ -\epsilon <-p(-x)& \le p(x_0+x)-p(x_0)\le p(x)+p(x_0)-p(x_0)\\ -\epsilon & <p(x_0+x)-p(x_0)\le p(x)<\epsilon \\ |p(x_0+x)-p(x_0)|& <\epsilon \end{array}$$

故 $p$ 在 $x_0$ 处连续，故 $p$ 为连续映射。