习题 4.38

设 $X$ 为自反 Banach 空间, $M$ 为 $X$ 的闭线性子空间. 求证: $M$ 也为自反 Banach 空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明.
设 $X$ 为自反 Banach 空间, $M\subset X$ 为闭线性子空间. 记 $J_X:X\to X^{\ast \ast }$ 与 $J_M:M\to M^{\ast \ast }$ 分别为典范嵌入: $$J_X(x)(f)=f(x)(f\in X^{\ast }),J_M(m)(\phi )=\phi (m)(\phi \in M^{\ast }).$$ 已知 $J_X$ 是等距同构, $J_M$ 是等距嵌入. 要证 $M$ 自反, 只需证 $J_M$ 是满射.

令 $i:M\hookrightarrow X$ 为包含映射, 则 $i$ 为线性等距. 其对偶算子 $i^{\ast }:X^{\ast }\to M^{\ast }$ 定义为 $$(i^{\ast }f)(m)=f(i(m))=f(m),f\in X^{\ast },m\in M,$$ 即 $i^{\ast }f=f{|}_M$. 由 Hahn–Banach 定理, 任意 $\phi \in M^{\ast }$ 均可延拓为 $X$ 上的有界线性泛函, 故 $i^{\ast }$ 是满射.

考虑 $i$ 的双重对偶算子 $i^{\ast \ast }:M^{\ast \ast }\to X^{\ast \ast }$: $$[i^{\ast \ast }(m^{\ast \ast })](f)=m^{\ast \ast }(i^{\ast }f),f\in X^{\ast },m^{\ast \ast }\in M^{\ast \ast }.$$ $i^{\ast \ast }$ 为线性等距嵌入. 直接计算可知下图交换: $$\begin{array}{ccc}M& \stackrel{J_M}{\to }& M^{\ast \ast }\\ i\downarrow & & \downarrow i^{\ast \ast }\\ X& \stackrel{J_X}{\to }& X^{\ast \ast }\end{array}$$ 即对任意 $m\in M$ 和 $f\in X^{\ast }$, $$[i^{\ast \ast }(J_M(m))](f)=J_M(m)(i^{\ast }f)=(i^{\ast }f)(m)=f(i(m))=J_X(i(m))(f),$$ 故 $i^{\ast \ast }\circ J_M=J_X\circ i$.

任取 $m^{\ast \ast }\in M^{\ast \ast }$, 令 $x^{\ast \ast }=i^{\ast \ast }(m^{\ast \ast })\in X^{\ast \ast }$. 由于 $X$ 自反, 存在唯一 $x\in X$ 使得 $J_X(x)=x^{\ast \ast }$. 以下证明 $x\in M$ 且 $J_M(x)=m^{\ast \ast }$.

第一步: $x\in M$.
对任意 $f\in X^{\ast }$ 满足 $f{|}_M=0$ (即 $i^{\ast }f=0$), 有 $$f(x)=J_X(x)(f)=x^{\ast \ast }(f)=[i^{\ast \ast }(m^{\ast \ast })](f)=m^{\ast \ast }(i^{\ast }f)=m^{\ast \ast }(0)=0.$$ 若 $x\notin M$, 因 $M$ 闭, 由 Hahn–Banach 定理存在 $g\in X^{\ast }$ 使 $g{|}_M=0$ 但 $g(x)\ne 0$, 矛盾. 故 $x\in M$.

第二步: $J_M(x)=m^{\ast \ast }$.
对任意 $\phi \in M^{\ast }$, 由 $i^{\ast }$ 满射, 取 $f\in X^{\ast }$ 满足 $i^{\ast }f=\phi$. 则 $$m^{\ast \ast }(\phi )=m^{\ast \ast }(i^{\ast }f)=[i^{\ast \ast }(m^{\ast \ast })](f)=x^{\ast \ast }(f)=J_X(x)(f)=f(x).$$ 因为 $x\in M$ 且 $f{|}_M=\phi$, 有 $f(x)=\phi (x)=J_M(x)(\phi )$. 于是 $$m^{\ast \ast }(\phi )=J_M(x)(\phi ),\forall \phi \in M^{\ast },$$ 即 $m^{\ast \ast }=J_M(x)$.

因此 $J_M$ 是满射, 从而为等距同构. 故 $M$ 是自反 Banach 空间. $\square$