习题 4.39

设 $X$ 为自反 Banach 空间, $M$ 为 $X$ 的闭线性子空间. 求证: 商空间 $X/M$ 也为自反 Banach 空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $X$ 为自反 Banach 空间，$M\subset X$ 为闭线性子空间，记商映射 $q:X\to X/M$，$q(x)=[x]=x+M$，商范数为 $\Vert [x]\Vert ={\inf }_{m\in M}\Vert x+m\Vert$。

首先回忆对偶关系：$(X/M{)}^{\ast }\cong M^{\perp }$，其中 $M^{\perp }=\{f\in X^{\ast }:f{|}_M=0\}$。具体地，对任意 $f\in M^{\perp }$，定义 $\hat{f}\in (X/M{)}^{\ast }$ 为 $\hat{f}([x])=f(x)$，则映射 $f\mapsto \hat{f}$ 是等距同构。

第一步：构造等距 $T:X/M\to (M^{\perp }{)}^{\ast }$。
考虑包含映射 $i:M^{\perp }\to X^{\ast }$。其对偶 $i^{\ast }:X^{\ast \ast }\to (M^{\perp }{)}^{\ast }$ 为限制算子：$i^{\ast }(\xi )=\xi {|}_{M^{\perp }}$。由于 $X$ 自反，自然嵌入 $J_X:X\to X^{\ast \ast }$ 是等距同构。定义 $S:X\to (M^{\perp }{)}^{\ast }$ 为 $S=i^{\ast }\circ J_X$，即 $$S(x)(f)=J_X(x)(f)=f(x),\forall f\in M^{\perp }.$$ 易见 $S$ 是线性有界算子。由 Hahn‑Banach 定理的推论， $$\Vert [x]\Vert =\sup \{|f(x)|:f\in M^{\perp },\Vert f\Vert \le 1\}=\Vert S(x)\Vert ,$$ 故 $\Vert S(x)\Vert =\Vert [x]\Vert$。此外，$\ker S=M$（因为 $S(x)=0⟺\Vert [x]\Vert =0⟺[x]=0$）。因此 $S$ 诱导出等距线性同构 $$T:X/M\to (M^{\perp }{)}^{\ast },T([x])=S(x),$$ 即 $T([x])(f)=f(x)$ 对所有 $f\in M^{\perp }$ 成立。

第二步：证明 $T$ 是满射。
任取 $\psi \in (M^{\perp }{)}^{\ast }$。因为 $M^{\perp }$ 是 $X^{\ast }$ 的闭子空间，由 Hahn‑Banach 延拓定理，存在 $\xi \in X^{\ast \ast }$ 使得 $\xi {|}_{M^{\perp }}=\psi$ 且 $\Vert \xi \Vert =\Vert \psi \Vert$，即 $i^{\ast }(\xi )=\psi$。利用 $X$ 的自反性，存在 $x\in X$ 满足 $J_X(x)=\xi$。于是 $$T([x])=S(x)=i^{\ast }(J_X(x))=i^{\ast }(\xi )=\psi .$$ 故 $T$ 是满射，从而是等距同构 $X/M\cong (M^{\perp }{)}^{\ast }$。

第三步：识别双对偶。
由 $(X/M{)}^{\ast }\cong M^{\perp }$，可得 $(X/M{)}^{\ast \ast }\cong (M^{\perp }{)}^{\ast }$（具体地，若 $\Phi :(X/M{)}^{\ast }\to M^{\perp }$ 为标准等距同构，则其伴随 ${\Phi }^{\ast }:(M^{\perp }{)}^{\ast }\to (X/M{)}^{\ast \ast }$ 也是等距同构）。直接验证可知 ${\Phi }^{\ast }\circ T$ 等于自然嵌入 $J_{X/M}:X/M\to (X/M{)}^{\ast \ast }$：对任意 $[x]\in X/M$ 和 $\phi \in (X/M{)}^{\ast }$，设 $\Phi (\phi )=f\in M^{\perp }$，则 $$({\Phi }^{\ast }(T([x])))(\phi )=T([x])(\Phi (\phi ))=f(x)=\phi ([x])=J_{X/M}([x])(\phi ).$$ 因此 $J_{X/M}={\Phi }^{\ast }\circ T$。由于 ${\Phi }^{\ast }$ 和 $T$ 均为等距同构，$J_{X/M}$ 也是等距同构，即 $J_{X/M}$ 是满射。这就证明了 $X/M$ 是自反 Banach 空间。$\square$