2010-5

$X,Y$ 是两个线性赋范空间，$T:X\to Y,S:Y^{\prime }\to X^{\prime },\forall f\in Y^{\prime },f(Tx)=S(f)(x)$。证明：

1. $S$ 有界线性
2. $T$ 有界线性

解答

1. $S$ 有界线性

先验证 $S$ 线性：

$$\begin{array}{rl}S(\alpha f_1+\beta f_2)(x)& =(\alpha f_1+\beta f_2)(Tx)\\ & =\alpha f_1(Tx)+\beta f_2(Tx)\\ & =\alpha S(f_1)(x)+\beta S(f_2)(x)\\ & =(\alpha S(f_1)+\beta S(f_2))(x)\end{array}$$

再证 $S$ 有界：

$X^{\prime },Y^{\prime }$ 为 Banach 空间，任取 $Y^{\prime }$ 中的收敛列 $\{f_n\},f_n\to f,S(f_n)\to g$。由 $f_n\circ T=S(f_n)$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }S(f_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\circ T=f\circ T$，故 $g=f\circ T=S(f)$，进而由闭图像定理，$S$ 为有界线性算子。

2. $T$ 有界线性

先验证 $T$ 线性：

$$\begin{array}{rl}f(T(\alpha x_1+\beta x_2))& =S(f)(\alpha x_1+\beta x_2)\\ & =\alpha S(f)(x_1)+\beta S(f)(x_2)\\ & =\alpha f(T{x}_1)+\beta f(T{x}_2)\\ & =f(\alpha T{x}_1+\beta T{x}_2)\end{array}$$

考虑典范映射 $J:Y\to Y^{\prime \prime },Tx\mapsto g_{Tx}$，其中 $g_{Tx}:f\mapsto f(Tx)$。

$f\in Y^{\prime }$，则 $|f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert$，故 $\Vert x\Vert =\underset{\Vert f\Vert \le 1}{\sup }|f(x)|$

故 $\Vert Tx\Vert =\underset{\Vert f\Vert \le 1}{\sup }|f(Tx)|=\underset{\Vert f\Vert \le 1}{\sup }|S(f)(x)|\le \Vert S\Vert \Vert f\Vert \Vert x\Vert$

故 $T$ 为有界线性算子。