习题 4.33

设 $X,Y$ 为 Banach 空间, $T:X\to Y$ 为有界线性算子且为单射. 求证: $T^{-1}:R(T)\to X$ 为有界线性算子当且仅当 $R(T)$ 为 $Y$ 的闭线性子空间.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：
设 $R=R(T)$ 为 $T$ 的值域。因 $T$ 是单射，逆映射 $T^{-1}:R\to X$ 存在且为线性算子。下面证明 $T^{-1}$ 有界当且仅当 $R$ 是 $Y$ 的闭子空间。

必要性（$\Rightarrow$）：若 $T^{-1}$ 有界，则存在常数 $C>0$ 使得对任意 $y\in R$ 有 $\Vert T^{-1}y\Vert \le C\Vert y\Vert$。于是对任意 $x\in X$， $$\Vert x\Vert =\Vert T^{-1}(Tx)\Vert \le C\Vert Tx\Vert ⟹\Vert Tx\Vert \ge \frac{1}{C}\Vert x\Vert .$$

现证 $R$ 闭。取 $\{y_n\}\subset R$ 且 $y_n\to y\in Y$，需证 $y\in R$。令 $x_n=T^{-1}{y}_n$，则 $\{x_n\}\subset X$ 且 $$\Vert x_n-x_m\Vert =\Vert T^{-1}(y_n-y_m)\Vert \le C\Vert y_n-y_m\Vert .$$ 由于 $\{y_n\}$ 收敛，故为 Cauchy 列，从而 $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列。因 $X$ 完备，存在 $x\in X$ 使 $x_n\to x$。由 $T$ 的连续性得 $y_n=T{x}_n\to Tx$。但 $y_n\to y$，由极限唯一性知 $y=Tx\in R$。所以 $R$ 是闭集。

充分性（$\Leftarrow$）：若 $R$ 是 $Y$ 的闭线性子空间，则 $R$ 也是 Banach 空间（作为完备空间的闭子空间）。考虑算子 $T:X\to R$，它是有界线性算子（因 $T\in \mathcal{L}(X,Y)$ 且 $T(X)=R$），并且是单射和满射。由开映射定理（或逆算子定理），$T$ 是开映射，故其逆 $T^{-1}:R\to X$ 有界线性。

综上，$T^{-1}$ 有界当且仅当 $R(T)$ 闭。