习题 4.34

设 $X,Y$ 为 Banach 空间, $T:X\to Y$ 为有界线性算子且为一一映射. 求证: 存在常数 $\alpha ,\beta >0$, 使得 $$\alpha \Vert x\Vert \le \Vert Tx\Vert \le \beta \Vert x,x\in X.$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

由于 $X$ 和 $Y$ 均为 Banach 空间，$T\in \mathcal{B}(X,Y)$ 且为双射（一一映射），根据逆算子定理（开映射定理的直接推论），$T$ 的逆算子 $T^{-1}\in \mathcal{B}(Y,X)$，即存在常数 $C>0$ 使得 $$\Vert T^{-1}y\Vert \le C\Vert y\Vert ,\forall y\in Y.$$

对任意 $x\in X$，令 $y=Tx$，则 $$\Vert x\Vert =\Vert T^{-1}(Tx)\Vert \le C\Vert Tx\Vert ,$$ 从而 $$\Vert Tx\Vert \ge \frac{1}{C}\Vert x\Vert .$$

又因为 $T$ 有界，存在常数 $\beta =\Vert T\Vert >0$ 使得 $$\Vert Tx\Vert \le \beta \Vert x\Vert ,\forall x\in X.$$

取 $\alpha =1/C$，即得 $$\alpha \Vert x\Vert \le \Vert Tx\Vert \le \beta \Vert x\Vert ,\forall x\in X.$$