习题 35

设 $X, Y$ 为 Banach 空间， $T : X \to Y$ 为线性算子。设任给 $x_{n} \in X, x_{n} \to 0$ ，对每个 $f \in Y^{'}$ ，都有 $f (T x_{n}) \to 0$ 。求证 $T \in B (X, Y)$ 。

解答

考虑使用闭图像定理，故先须证明 $T$ 为闭算子。

$\forall x_{n} \in X, T x_{n} \to y$ ，须证明 $y = T x$ 。

取 $x_{n} = x + z_{n}$ ，则 $z_{n} \to 0$ ， $T x_{n} = T x + T z_{n}$ ， $n \to \infty lim T z_{n} = T 0 = 0$ 。

又 $T z_{n} = T x_{n} - T x = y - T x = 0$ ，故 $y = T x$ 。

从而 $T$ 为闭算子，由闭图像定理， $T \in B (X, Y)$ 。