2011-2

$X$ 是一个定义在复数域上的度量空间，$a\in \mathbb{C}$，$A$ 是 $X$ 的子集，且满足 $|a|\ne 0,aA=\{ax:x\in A\}$，证明：

1. $\overline{aA}=a\overline{A}$
2. $A$ 为闭集 $⟺$ $aA$ 为闭集

解答

1. $\overline{aA}=a\overline{A}$

设 $x\in \overline{aA}$，则 $\exists x_n\in aA,x_n\to x$。$\exists y_n\in A,x_n=a{y}_n$，则有 $y_n\to \frac{x}{a}$。故有 $\frac{x}{a}\in \overline{A}$，即 $x\in a\overline{A}$，即 $\overline{aA}\subset a\overline{A}$。

反之，设 $x\in a\overline{A}$，则 $\exists y\in \overline{A}$ 使得 $x=ay$。则 $\exists y_n\in A,y_n\to y$，故 $a{y}_n\to ay=x$，即 $x\in \overline{aA}$，即 $a\overline{A}\subset \overline{aA}$。

综上，$\overline{aA}=a\overline{A}$。

2. $A$ 为闭集 $⟺$ $aA$ 为闭集

充分性

取 $aA$ 中的收敛列 $y_n\to y$，须证 $y\in aA$。

由 $aA=\{ax:x\in A\}$，故 $\exists x_n\in A,y_n=a{x}_n$。则 $\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,\Vert y_n-y\Vert <\epsilon$，进而 $\Vert a{x}_n-y\Vert <\epsilon$。

由 $a\ne 0$，可得 $\Vert x_n-\frac{y}{a}\Vert <\frac{\epsilon }{|a|}$，即 $\{x_n\}$ 收敛至 $\frac{y}{a}$。由 $A$ 为闭集，可得 $\frac{y}{a}\in A$，即 $y\in aA$。

Thanks to @thulanxc

必要性

$aA$ 为闭集，即 $\forall y_n\in aA,y_n\to y\in aA$。则 $\exists x_n\in A,y_n=a{x}_n$，故 $x_n=\frac{y_n}{a}\to \frac{y}{a}\in A$，即 $A$ 为闭集。