习题 36

设 $x_n$ 为 Banach 空间 $X$ 中的序列，任取 $f\in X^{\prime }$，都有 $\sum _{n=1}^{\infty }|f(x_n)|<\infty$。求证：存在常数 $M\ge 0$ 使得 $\sum _{n=1}^{\infty }|f(x_n)|\le M\Vert f\Vert$。

解答

考虑典范映射 $J:X\to X^{\prime \prime },x\mapsto g_x$，其中 $g_x(f)=f(x),\forall f\in X^{\prime }$。

令 $x_{N,\theta }=\sum _{n=1}^N{\theta }_n{x}_n$，其中 ${\theta }_n\in {\mathbb{S}}^1\cup \{0\}$，即 $|{\theta }_n|=1$，则有

$$|g_{x_{N,\theta }}(f)|=|f(x_{N,\theta })|=\left|\sum _{n=1}^N{\theta }_{n}f(x_n)\right|\le \sum _{n=1}^N|f(x_n)|\le \sum _{n=1}^{\infty }|f(x_n)|<\infty$$

则 $\underset{N\ge 1}{\sup }\Vert g_{x_{N,\theta }}\Vert <\infty$。由典范映射的性质，$\Vert g_{x_{N,\theta }}\Vert =\Vert x_{N,\theta }\Vert$，故 $\underset{N\ge 1}{\sup }\Vert x_{N,\theta }\Vert <\infty$。

取 $M=\underset{N\ge 1}{\sup }\Vert x_{N,\theta }\Vert$，则有

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^N|f(x_n)|& =\sum _{n=1}^N[\mathrm{sgn}f(x_n)]f(x_n)\\ & =\sum _{n=1}^{N}f[\mathrm{sgn}f(x_n)x_n]\\ & =f\left[\sum _{n=1}^N\mathrm{sgn}f(x_n)x_n\right]\\ & \le M\Vert f\Vert \end{array}$$

再令 $N\to \infty$，$M$ 即为所求。