赋范空间

线性空间和维数

线性空间 $X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，若

1. $\forall x,y\in X,x+y=y+x$
2. $\forall x,y,z\in X,(x+y)+z=x+(y+z)$
3. $\exists 0\in X,\forall x\in X,x+0=0+x$
4. $\forall x\in X,\exists -x\in X,x+(-x)=0$
5. $\forall x\in X,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{K},\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$
6. $\forall x\in X,1x=x$
7. $\forall x,y\in X,\alpha \in \mathbb{K},\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
8. $\forall x,y\in X,\alpha ,\beta \in \mathbb{K},(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$

线性无关 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in X$ 线性无关，若 $\exists {\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathbb{K},{\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=0$，则 ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$

Hamel 基 $M$ 为 $X$ 的 Hamel 基，若 $M$ 为 $X$ 线性无关子集且 $\mathrm{span}(M)=X$

设 $X$ 为线性空间，$X\ne \{0\}$，$M_0$ 为线性无关子集，则一定存在 Hamel 基 $N$ 使得 $M_0\subset N$

赋范空间和 Banach 空间

范数 $\Vert \cdot \Vert :X\to \mathbb{R}$，若

1. 非负性：$\forall x\in X,\Vert x\Vert \ge 0$
2. 非退化性：$\forall x\in X,\Vert x\Vert =0⟺x=0$
3. 齐次性：$\forall x\in X,\forall \alpha \in \mathbb{K},\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$
4. 三角不等式：$\forall x,y\in X,\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

赋范空间 序对 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间，其中 $X$ 为线性空间，$\Vert \cdot \Vert$ 为范数

诱导度量 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$

1. 平移不变性：$\forall x,y,z\in X,d(x+z,y+z)=d(x,y)$
2. 齐次性：$\forall x,y\in X,\forall \alpha \in \mathbb{K},d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$

Banach 空间 $X$ 为 Banach 空间，若诱导度量使之成为完备空间

线性算子 $T:X\to Y$ 为线性算子，若

1. $\forall x,y\in X,T(x+y)=T(x)+T(y)$
2. $\forall x\in X,\forall \alpha \in \mathbb{K},T(\alpha x)=\alpha T(x)$

等距同构 $T:X\to Y$ 为等距同构，若

1. $T$ 为线性算子，且 $T$ 为双射
2. $\forall x\in X,\Vert T(x){\Vert }_Y=\Vert x{\Vert }_X$

Schauder 基 $\{e_n\}$ 为 $X$ 的 Schauder 基，若 $\forall x\in X,\exists !{\alpha }_n\in \mathbb{K},x=\sum _{n=1}^{\infty }{\alpha }_n{e}_n$

有限维赋范空间

等价范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 为等价范数，若 $\exists c_1,c_2>0,\forall x\in X,c_1\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_2\le c_2\Vert x{\Vert }_1$

设 $X$ 为赋范空间，$x_1,x_2,\cdots ,x_n\in X$ 线性无关，则存在常数 $c>0$，使得 $\forall {\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\in \mathbb{K},\Vert {\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n\Vert \ge c(|{\alpha }_1|+|{\alpha }_2|+\cdots +|{\alpha }_n|)$

设 $X$ 为有限维赋范空间，则 $X$ 上的任意两个范数等价，且 $X$ 赋予任意范数均是 Banach 空间

设 $X$ 为赋范空间，$Y$ 为有限维线性子空间，则 $Y$ 必为 Banach 空间，因此总为闭线性子空间

设 $X$ 为有限维赋范空间，则 $M\subset X$ 为紧集 $⟺M$ 为有界闭集

有界线性算子

有界线性算子 $T:X\to Y$ 为有界线性算子，若 $\exists C\ge 0,\forall x\in X,\Vert T(x){\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X$

算子范数 $\Vert T\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert T(x)\Vert }{\Vert x\Vert }$

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为有界线性算子，则 $\Vert T\Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert T(x)\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert T(x)\Vert$

有界线性算子空间 记 $B(X,Y)$ 为有界线性算子空间

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为线性算子，则下述命题相互等价

1. $T$ 在 $x=0$ 连续
2. $T$ 在某点连续
3. $T$ 为连续映射
4. $T$ 为有界线性算子

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:X\to Y$ 为有界线性算子，则 $T$ 的零空间 $N(T)=\{x\in X:T(x)=0\}$ 为闭线性子空间

设 $X$ 为赋范空间，$Y$ 为 Banach 空间，则 $B(X,Y)$ 为 Banach 空间

延拓 $X_0\subset X,T:X\to Y,S:X_0\to Y$，若 $\forall x\in X_0,S(x)=T(x)$，则 $T$ 为 $S$ 的延拓，$S$ 为 $T$ 的限制，记 $S=T{\mid }_{X_0}$

设 $X$ 赋范空间，$Y$ Banach 空间，$X_0\subset X$ 为稠密线性子空间，又设 $T_0\in B(X_0,Y)$，则存在唯一的 $T\in B(X,Y)$ 使得 $T{\mid }_{X_0}=T_0$ 且 $\Vert T\Vert =\Vert T_0\Vert$

有界线性泛函及其表示

线性泛函 线性算子 $f:X\to \mathbb{K}$

代数对偶空间 $X^{\ast }=\{\text{全体线性泛函}\}$

拓扑对偶空间（对偶空间、共轭空间） $X^{\prime }=B(X,\mathbb{K})$

常见赋范空间的对偶空间：

• $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2{)}^{\prime }=({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2)$
• $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p{)}^{\prime }=({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_q)$
• $c_0^{\prime }={\ell }^1$，其中 $c_0=(\{\{x_n\}\in {\ell }^{\infty }:\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0\},\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$
• $({\ell }^1{)}^{\prime }={\ell }^{\infty }$
• $({\ell }^p{)}^{\prime }={\ell }^q$，其中 $1<p<\infty ,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$