赋范空间

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线性空间和维数

定义（线性空间）
设 $X$ 是非空集合，$\mathbb{K}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 或复数域 $\mathbb{C}$。在 $X$ 上定义了加法 $+$ 和数乘 $\cdot$，满足以下公理（$\forall x,y,z\in X,\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$）：

1. $x+y=y+x$；
2. $(x+y)+z=x+(y+z)$；
3. 存在 $0\in X$ 使得 $x+0=0+x=x$；
4. 存在 $-x\in X$ 使得 $x+(-x)=0$；
5. $\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$；
6. $1x=x$；
7. $\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$；
8. $(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$。

则称 $X$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间（或称向量空间）。

定义（线性子空间）
设 $Y$ 是线性空间 $X$ 的子集。如果对任意 $x,y\in Y$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$ 都有 $\alpha x+\beta y\in Y$，则称 $Y$ 是 $X$ 的线性子空间。

定义（线性组合与生成子空间）
设 $M\subseteq X$ 非空。$M$ 中元素的有限线性组合的全体称为 $M$ 的生成子空间，记作 $\mathrm{span}(M)$： $$\mathrm{span}(M)=\{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i:n\ge 1,{\alpha }_i\in \mathbb{K},x_i\in M\}.$$ 它是包含 $M$ 的最小线性子空间。

定义（线性无关与线性相关）
$X$ 中有限个元素 $x_1,\dots ,x_n$ 称为线性无关，若 ${\alpha }_1{x}_1+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=0$ 蕴涵 ${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_n=0$。否则称为线性相关。无限子集 $M$ 线性无关，如果它的任意有限子集线性无关。

定义（有限维与无穷维）
若存在正整数 $n$ 使得 $X$ 中有 $n$ 个线性无关的向量，但任意 $n+1$ 个向量都线性相关，则称 $X$ 是有限维的，$n$ 称为 $X$ 的维数，记作 $\dim X=n$。如果这样的 $n$ 不存在，则称 $X$ 是无穷维的，记 $\dim X=\infty$。

定义（Hamel 基）
设 $M$ 是 $X$ 的线性无关子集。如果 $\mathrm{span}(M)=X$，则称 $M$ 是 $X$ 的一个 Hamel 基。

定理（Hamel 基存在性）
设 $X$ 是线性空间，$X\ne \{0\}$，$M_0$ 是 $X$ 的任意线性无关子集。则存在 $X$ 的 Hamel 基 $N$，使得 $M_0\subseteq N$。特别地，任何非零线性空间都有 Hamel 基。

赋范空间和 Banach 空间

定义（范数）
设 $X$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。函数 $\Vert \cdot \Vert :X\to \mathbb{R}$ 称为 $X$ 上的范数，如果满足：

1. 非负性：$\Vert x\Vert \ge 0$，$\forall x\in X$；
2. 非退化性：$\Vert x\Vert =0⟺x=0$；
3. 齐次性：$\Vert \alpha x\Vert =|\alpha |\Vert x\Vert$，$\forall \alpha \in \mathbb{K},x\in X$；
4. 三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$，$\forall x,y\in X$。

有序对 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 称为赋范空间。在不引起混淆时，简称 $X$ 为赋范空间。

诱导度量
对赋范空间 $(X,\Vert \cdot \Vert )$，定义 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$，则 $d$ 是 $X$ 上的度量，称为由范数诱导的度量。它具有性质：

• 平移不变性：$d(x+z,y+z)=d(x,y)$；
• 齐次性：$d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$。

定义（Banach 空间）
如果赋范空间 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 在诱导度量下是完备度量空间，则称 $X$ 为 Banach 空间。

定义（线性算子）
设 $X,Y$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。映射 $T:X\to Y$ 称为线性算子，如果

• $T(x+y)=Tx+Ty$，
• $T(\alpha x)=\alpha Tx$， 对所有 $x,y\in X,\alpha \in \mathbb{K}$ 成立。

定义（等距同构）
若线性算子 $T:X\to Y$ 是双射且满足 $\Vert Tx{\Vert }_Y=\Vert x{\Vert }_X$ 对所有 $x\in X$ 成立，则称 $T$ 是等距同构，此时称 $X$ 与 $Y$ 等距同构。

定义（Schauder 基）
设 $X$ 是赋范空间。序列 $\{e_n\}\subset X$ 称为 $X$ 的 Schauder 基，如果对每个 $x\in X$，存在唯一的标量序列 $\{{\alpha }_n\}\subset \mathbb{K}$，使得 $x={\sum }_{n=1}^{\infty }{\alpha }_n{e}_n$（级数按范数收敛）。

有限维赋范空间

定义（等价范数）
设 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是线性空间 $X$ 上的两个范数。如果存在常数 $c_1,c_2>0$，使得 $$c_1\Vert x{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_2\le c_2\Vert x{\Vert }_1,\forall x\in X,$$ 则称 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 等价。

引理（线性无关组的范数下界）
设 $X$ 是赋范空间，$x_1,\dots ,x_n\in X$ 线性无关。则存在常数 $c>0$，使得对任意 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in \mathbb{K}$， $$\Vert \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\Vert \ge c\sum _{i=1}^n|{\alpha }_i|.$$

定理（有限维空间上范数等价）
有限维线性空间上的任意两个范数等价。

推论（有限维赋范空间的完备性）
任何有限维赋范空间都是 Banach 空间。

推论（有限维子空间的闭性）
赋范空间 $X$ 的有限维线性子空间 $Y$ 是 $X$ 的闭子集。

定理（有限维空间中的紧性）
在有限维赋范空间中，子集 $M$ 是紧集当且仅当 $M$ 是有界闭集。

有界线性算子

定义（有界线性算子）
设 $X,Y$ 是赋范空间，$T:X\to Y$ 是线性算子。如果存在常数 $C\ge 0$，使得 $$\Vert Tx{\Vert }_Y\le C\Vert x{\Vert }_X,\forall x\in X,$$ 则称 $T$ 是有界线性算子。记 $B(X,Y)$ 为所有从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子的集合。

定义（算子范数）
对于 $T\in B(X,Y)$，其算子范数定义为 $$\Vert T\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Tx{\Vert }_Y}{\Vert x{\Vert }_X}=\underset{\Vert x{\Vert }_X\le 1}{\sup }\Vert Tx{\Vert }_Y=\underset{\Vert x{\Vert }_X=1}{\sup }\Vert Tx{\Vert }_Y.$$

定理（有界性与连续性的等价）
设 $X,Y$ 是赋范空间，$T:X\to Y$ 是线性算子。下列陈述等价：

1. $T$ 在 $x=0$ 处连续；
2. $T$ 在某一点连续；
3. $T$ 是连续映射；
4. $T$ 是有界线性算子。

定理（零空间闭）
若 $T\in B(X,Y)$，则零空间 $N(T)=\{x\in X:Tx=0\}$ 是 $X$ 的闭线性子空间。

定理（有界线性算子空间的完备性）
设 $X$ 是赋范空间，$Y$ 是 Banach 空间，则 $B(X,Y)$ 按算子范数构成 Banach 空间。

定理（延拓定理）
设 $X$ 是赋范空间，$Y$ 是 Banach 空间，$X_0\subseteq X$ 是稠密线性子空间，$T_0\in B(X_0,Y)$。则存在唯一的 $T\in B(X,Y)$ 使得 $T{|}_{X_0}=T_0$，并且 $\Vert T\Vert =\Vert T_0\Vert$。

有界线性泛函及其表示

定义（线性泛函）
设 $X$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间。线性算子 $f:X\to \mathbb{K}$ 称为 $X$ 上的线性泛函。

定义（代数对偶空间）
$X$ 上所有线性泛函的集合记作 $X^{\ast }$，称为 $X$ 的代数对偶空间。

定义（拓扑对偶空间 / 对偶空间 / 共轭空间）
设 $X$ 是赋范空间。$X$ 上所有有界线性泛函的集合 $B(X,\mathbb{K})$ 记作 $X^{\prime }$，称为 $X$ 的拓扑对偶空间（简称对偶空间或共轭空间）。

常见赋范空间的对偶空间（等距同构意义下）

• $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2{)}^{\prime }\cong ({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_2)$；
• $({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_p{)}^{\prime }\cong ({\mathbb{K}}^n,\Vert \cdot {\Vert }_q)$，其中 $1\le p<\infty$，$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$；
• $c_0^{\prime }={\ell }^1$（这里 $c_0=\{(x_n)\in {\ell }^{\infty }:\lim x_n=0\}$，范数为 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$）；
• $({\ell }^1{)}^{\prime }={\ell }^{\infty }$；
• 对于 $1<p<\infty$，$({\ell }^p{)}^{\prime }={\ell }^q$，其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。

（注：$\cong$ 表示等距同构。）