2013-6

设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$T:X\to Y$ 为线性算子，假设任取 $x_n\in X$ 满足 $x_n\to 0$，任取 $f\in Y^{\prime }$ 都有 $f(T{x}_n)\to 0$。求证：$T\in B(X,Y)$。

解答

考虑典范映射 $J:Y\to Y^{\prime \prime }$，有 $J(T{x}_n)\in Y^{\prime \prime },J(T{x}_n)(f)=f(T{x}_n)$。由 $f(T{x}_n)\to 0$，得 $\underset{n\ge 1}{\sup }|J(T{x}_n)(f)|<\infty$。由一致有界性原理，$\exists C\ge 0,\forall n\ge 1,\Vert J(T{x}_n)\Vert \le C$。又由典范映射的性质，$\Vert J(T{x}_n)\Vert =\Vert T{x}_n\Vert$，故 $\Vert T{x}_n\Vert \le C$，即 $\Vert T\Vert \le C$，故 $T\in B(X,Y)$。

$X,Y$ 为 Banach 空间，只须证明 $T$ 为闭算子。

$\forall x_n\in X,x_n\to 0,T{x}_n\to y$，由 $\forall f\in Y^{\prime },f(T{x}_n)\to 0$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(T{x}_n)=f(\underset{n\to \infty }{\lim }T{x}_n)=f(y)=0$，故 $y=0$，即 $T{x}_n\to 0=T0$，故 $T$ 为闭算子。

由闭图像定理，$T$ 为有界线性算子。

Thanks to @Timothy-Liuxf