习题 18

在上题中又设 $Y$ 为 Banach 空间，求证：存在 $T\in B(X,Y)$ 使得任取 $x\in X$，$T_{n}x\to Tx$ 且 $\Vert T\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert$。

解答

$\{T_{n}x\}$ 为 $Y$ 中的 Cauchy 列，$Y$ 为 Banach 空间，故 $\forall x\in X,\exists y\in Y$，使得 $T_{n}x\to y$。

由于极限唯一，故可定义 $T:X\to Y,x\mapsto \underset{n\to \infty }{\lim }{T}_{n}x$。下证 $T\in B(X,Y)$。

$\forall x_1,x_2\in X,\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$，有

$$\begin{array}{rl}T(\alpha x_1+\beta x_2)& =\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n(\alpha x_1+\beta x_2)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }(\alpha T_n{x}_1+\beta T_n{x}_2)\\ & =\alpha \underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n{x}_1+\beta \underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n{x}_2\\ & =\alpha T{x}_1+\beta T{x}_2\end{array}$$

故 $T$ 为线性算子。再验证其有界。

$\{T_{n}x\}$ 为 Cauchy 列，则为有界列，即 $\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_{n}x\Vert <\infty$。又由一致有界性原理，$\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert <\infty$。

$$\begin{array}{rl}\Vert Tx\Vert & =\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert T_{n}x\Vert \\ & \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert \Vert x\Vert \end{array}$$

故 $\Vert T\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert$。即 $T\in B(X,Y)$。