2013-1

设 $X$ 为内积空间，$x,y\in X$，求证：

1. $x\perp y$ 当且仅当任取 $\lambda \in \mathbb{K}$，都有 $\Vert x-\lambda y\Vert =\Vert x+\lambda y\Vert$
2. 当 $X$ 为实空间时，$x\perp y$ 当且仅当 $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$
3. 举例说明当 $X$ 为复空间时，2. 中结论一般不成立

解答

1. $x\perp y$ 当且仅当任取 $\lambda \in \mathbb{K}$，都有 $\Vert x-\lambda y\Vert =\Vert x+\lambda y\Vert$

充分性

已知 $x\perp y$，则 $⟨x,y⟩=0$。

内积空间上诱导范数 $\Vert x\Vert =⟨x,x{⟩}^{\frac{1}{2}}$，则

$$\begin{array}{rl}\Vert x-\lambda y{\Vert }^2& =⟨x-\lambda y,x-\lambda y⟩\\ & =⟨x,x-\lambda y⟩-⟨\lambda y,x-\lambda y⟩\\ & =⟨x,x⟩-\overline{\lambda }⟨x,y⟩-\lambda ⟨y,x⟩+\lambda \overline{\lambda }⟨y,y⟩\end{array}$$

代入 $⟨x,y⟩=0$，得

$$\begin{array}{rl}\Vert x-\lambda y{\Vert }^2& =⟨x,x⟩+\lambda \overline{\lambda }⟨y,y⟩\\ & =\Vert x{\Vert }^2+\lambda \overline{\lambda }\Vert y{\Vert }^2\\ & =\Vert x{\Vert }^2+|\lambda {|}^2\Vert y{\Vert }^2\end{array}$$

同理可得 $\Vert x+\lambda y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+|\lambda {|}^2\Vert y{\Vert }^2$。

故 $\Vert x-\lambda y\Vert =\Vert x+\lambda y\Vert$。

必要性

已知 $\Vert x-\lambda y\Vert =\Vert x+\lambda y\Vert$，则

$$\begin{array}{rl}\Vert x-\lambda y{\Vert }^2& =\Vert x+\lambda y{\Vert }^2\\ ⟨x-\lambda y,x-\lambda y⟩& =⟨x+\lambda y,x+\lambda y⟩\\ ⟨x,x-\lambda y⟩-⟨\lambda y,x-\lambda y⟩& =⟨x,x+\lambda y⟩+⟨\lambda y,x+\lambda y⟩\\ ⟨x,x⟩-\overline{\lambda }⟨x,y⟩-\lambda ⟨y,x⟩+\lambda \overline{\lambda }⟨y,y⟩& =⟨x,x⟩+\overline{\lambda }⟨x,y⟩+\lambda ⟨y,x⟩+\lambda \overline{\lambda }⟨y,y⟩\\ -\overline{\lambda }⟨x,y⟩-\lambda ⟨y,x⟩& =\overline{\lambda }⟨x,y⟩+\lambda ⟨y,x⟩\\ \overline{\lambda }⟨x,y⟩+\lambda ⟨y,x⟩& =0\\ \lambda ⟨y,x⟩+\overline{\lambda ⟨y,x⟩}=0& \end{array}$$

由 $\lambda$ 的任意性，只须取 $\lambda =1$ 和 $\lambda =i$ 即可得到 $⟨x,y⟩=0$，即 $x\perp y$。

2. 当 $X$ 为实空间时，$x\perp y$ 当且仅当 $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$

充分性

已知 $x\perp y$，则 $⟨x,y⟩=0$。

$$\begin{array}{rl}\Vert x+y{\Vert }^2& =⟨x+y,x+y⟩\\ & =⟨x,x+y⟩+⟨y,x+y⟩\\ & =⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩\\ & =⟨x,x⟩+⟨y,y⟩\\ & =\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2\end{array}$$

必要性

已知 $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$，则

$$\begin{array}{rl}⟨x+y,x+y⟩& =⟨x,x⟩+⟨y,y⟩\\ ⟨x,x+y⟩+⟨y,x+y⟩& =⟨x,x⟩+⟨y,y⟩\\ ⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩& =⟨x,x⟩+⟨y,y⟩\\ ⟨x,y⟩+⟨y,x⟩& =0\\ ⟨x,y⟩+\overline{⟨x,y⟩}& =0\\ 2⟨x,y⟩& =0\end{array}$$

由 $⟨x,y⟩=0$，得 $x\perp y$。

3. 举例说明当 $X$ 为复空间时，2. 中结论一般不成立

只须找到 $⟨x,y⟩$ 不为实数的例子即可。

取 $X=\mathbb{C},x=1,y=i$，则 $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert 1+i{\Vert }^2=2$，$\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2=1+1=2$，但 $⟨x,y⟩=1\ne 0$。