2022-6

给出压缩映射的定义，并叙述 Banach 不动点定理

解答

设 $(X,d)$ 为度量空间，$T:X\to X$，若 $\exists \lambda \in [0,1)$，使得 $\forall x,y\in X$，有 $d(Tx,Ty)\le \lambda d(x,y)$，则称 $T$ 为压缩映射。

设 $(X,d)$ 为非空完备度量空间，$T:X\to X$ 为压缩映射，则 $T$ 在 $X$ 上有唯一不动点。