2010-2

${\ell }^p(X)\subset X$，且 $\forall x\in {\ell }^p(X),x=\{x_1,x_2,\cdots \}$，有 $(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}<\infty$，定义 $\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}$。证明：

1. $\Vert x{\Vert }_p$ 是 ${\ell }^p(X)$ 上的范数
2. $X$ 完备当且仅当 ${\ell }^p(X)$ 完备

解答

1. $\Vert x{\Vert }_p$ 是 ${\ell }^p(X)$ 上的范数

验证范数的四条性质：

$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}\ge 0$，非负性成立

$\Vert x{\Vert }_p=0⟺(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}=0⟺\forall n,\Vert x_n\Vert =0⟺x_n=0⟺x=0$，非退化性成立

$\Vert ax{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert a{x}_n{\Vert }^p{)}^{1/p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|a{|}^p\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}=|a|(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}=|a|\Vert x{\Vert }_p$，齐次性成立

$\Vert x+y{\Vert }_p=(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n+y_n{\Vert }^p{)}^{1/p}\le (\sum _{n=1}^{\infty }(\Vert x_n\Vert +\Vert y_n\Vert {)}^p{)}^{1/p}\le (\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}+(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert y_n{\Vert }^p{)}^{1/p}=\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p$，三角不等式成立

故 $\Vert x{\Vert }_p$ 是 ${\ell }^p(X)$ 上的范数。

2. $X$ 完备当且仅当 ${\ell }^p(X)$ 完备

充分性

设 $\{x_n^k\}\in {\ell }^p(X)$ 为 Cauchy 序列，则 $\forall \epsilon >0,\exists N>1,\forall m,k>N,\Vert x_n^m-x_n^k{\Vert }_p<\epsilon$，即 $(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n^m-x_n^k{\Vert }^p{)}^{1/p}<\epsilon$。

则 $\Vert x_n^m-x_n^k\Vert <\epsilon$，说明 $\{x_n^k\}$ 也是 $X$ 中的 Cauchy 序列。由 $X$ 完备，$\exists x_n\in X,k\to \infty ,x_n^k\to x_n$。

对于 $l\ge 1$，只要 $m,k\ge N$，就有 $\sum _{n=1}^l\Vert x_n^m-x_n^k{\Vert }^p<{\epsilon }^p$，取定 $m\ge N$ 并令 $k\to \infty$，则有 $\sum _{n=1}^l\Vert x_n^m-x_n{\Vert }^p<{\epsilon }^p$，再令 $l\to \infty$ 有 $\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n^m-x_n{\Vert }^p<{\epsilon }^p$。

再由 Minkowski 不等式：

$$(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}\le (\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n^m-x_n{\Vert }^p{)}^{1/p}+(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n^N{\Vert }^p{)}^{1/p}\le \epsilon +(\sum _{n=1}^{\infty }\Vert x_n^N{\Vert }^p{)}^{1/p}<\infty$$

这说明 $\{x_n\}\in {\ell }^p(X)$，且收敛，故 ${\ell }^p(X)$ 完备。

必要性

TODO