习题 16

设 $x_n$ 为赋范空间 $X$ 中的一列元，任给 $f\in X^{\prime }$，$f(x_n)$ 都为纯量有界列。求证：$\{x_n\}$ 为有界列。

解答

考虑典范映射 $J:X\to X^{\prime \prime },x\mapsto g_x$，其中 $g_x(f)=f(x)$。

$X^{\prime \prime }$ 为 Banach 空间，且 $\underset{n\ge 1}{\sup }|g_x(f)|=\underset{n\ge 1}{\sup }|f(x_n)|<\infty$，故由一致有界性原理，$\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert g_x\Vert <\infty$。

由典范映射的性质，$\Vert g_x\Vert =\Vert x\Vert$，故 $\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert x_n\Vert <\infty$，即 $\{x_n\}$ 为有界列。