习题 5

设 $X$ 为可分赋范空间，求证：存在 $X^{\prime }$ 单位球面的可数子集 $N$，使得任取 $x\in X$，有 $\Vert x\Vert =\underset{f\in N}{\sup }|f(x)|$。

解答

记 $S$ 为 $X^{\prime }$ 的单位球面。

$X$ 可分，即 $\exists M$ 为可数集，且 $\overline{M}=X$

由 Hahn-Banach 定理，$\forall x\in X,x\ne 0,\exists f_x\in X^{\prime },\Vert f_x\Vert =1,f_x(x)=\Vert x\Vert$。

构造集合 $N=\{f_x:x\in M\}$，则 $M$ 为可数集 $⟹N$ 为可数集，且 $\Vert f_x\Vert =1⟹N\subset S$。故 $N$ 为 $S$ 的可数子集。

$\forall f\in N,|f(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert =\Vert x\Vert ⟹\underset{f\in N}{\sup }|f(x)|\le \Vert x\Vert$。

$\forall x\in X,\exists x_n\in M,x_n\to x$，即 $\forall \epsilon >0,\exists K,\forall k>K,\Vert x_k-x\Vert <\epsilon$。

$$\begin{array}{rl}|f_{x_k}(x)|& =|f_{x_k}(x_k+(x-x_k))|\\ & =|f_{x_k}(x_k)+f_{x_k}(x-x_k)|\\ & \le |f_{x_k}(x_k)|+|f_{x_k}(x-x_k)|\\ & =\Vert x_k\Vert +|f_{x_k}(x-x_k)|\\ & \le \Vert x_k\Vert +\Vert f_{x_k}\Vert \Vert x-x_k\Vert \\ & =\Vert x_k\Vert +\Vert x-x_k\Vert \\ & <\Vert x_k\Vert +\epsilon \end{array}$$

由 $\epsilon$ 的任意性，$\underset{f\in N}{\sup }|f(x)|=\Vert x\Vert$。