2013-1

设 $X=C[0,1]$ 为 $[0,1]$ 上复值连续函数的全体，其上赋予范数 $\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{t\in [0,1]}{\max }|x(t)|$。任取 $x\in C[0,1]$，定义 $Tx\in C[0,1]$ 为 $(Tx)(t)=t^{2}x(t)$。求证：

1. $T\in B(X)$，并求 $\Vert T\Vert$
2. $\rho (T)=\mathbb{C}\setminus [0,1],\sigma (T)={\sigma }_r(T)=[0,1]$
3. 对于 $\lambda \in \rho (T)$ 及 $x\in C[0,1]$，求出函数 $(\lambda -T{)}^{-1}x$ 的具体表达式