2013-2

设 $y=(y_k{)}_{k\ge 1}$ 为一数列，又设任给 $x=(x_k{)}_{k\ge 1}\in {\ell }^1$，级数 $\sum _{k\ge 1}{x}_k{y}_k$ 均收敛。

1. 任给 $n\ge 1$ 及 $x=(x_k{)}_{k\ge 1}\in {\ell }^1$，令 $f_n(x)=\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k$，求证：$\{f_n\}\in ({\ell }^1{)}^{\prime }$，并求出 $\Vert f_n\Vert$。
2. 求证 $y\in {\ell }^{\infty }$

解答

1. 任给 $n\ge 1$ 及 $x=(x_k{)}_{k\ge 1}\in {\ell }^1$，令 $f_n(x)=\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k$，求证：$\{f_n\}\in ({\ell }^1{)}^{\prime }$，并求出 $\Vert f_n\Vert$。

由题设，$f_n:{\ell }^1\to \mathbb{R}$，故需验证 $f_n$ 为线性泛函，且有界。

先验证 $f_n$ 为线性泛函：

$$\begin{array}{rl}{f}_n(\alpha x_1+\beta x_2)& =\sum _{k=1}^n(\alpha x_{1k}+\beta x_{2k})y_k\\ & =\sum _{k=1}^n\alpha x_{1k}{y}_k+\sum _{k=1}^n\beta x_{2k}{y}_k\\ & =f_n(x_1)+f_n(x_2)\end{array}$$

再验证 $f_n$ 有界：

$|f_n(x)|=|\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k|\le \sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le \sum _{k=1}^n|x_k|\underset{1\le k\le n}{\max }|y_k|=\Vert x{\Vert }_1\underset{1\le k\le n}{\max }|y_k|$，故 $f_n$ 有界。

故 $\{f_n\}\in ({\ell }^1{)}^{\prime }$。下面求 $\Vert f_n\Vert$。

$$\begin{array}{rl}|f_n(x)|& \le \Vert f_n\Vert \Vert x{\Vert }_1\\ ⟹\Vert f_n\Vert & \ge \frac{|f_n(x)|}{\Vert x{\Vert }_1}\end{array}$$

取一列 $x_i=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots )\in {\ell }^1$，其中 $1$ 在第 $i$ 位，则 $\Vert x_i{\Vert }_1=1$，且 $f_n(x_i)=y_i$，故 $\Vert f_n\Vert \ge |f_n(x_i)|=|y_i|$，即 $\Vert f_n\Vert \ge \underset{1\le k\le n}{\max }|y_k|$。

综上，$\Vert f_n\Vert =\underset{1\le k\le n}{\max }|y_k|$。

2. 求证 $y\in {\ell }^{\infty }$

由题设和 1.，$\{f_n\}\in ({\ell }^1{)}^{\prime }$，故 $\{f_n\}$ 有界，即 $\exists M>0,\forall n\ge 1,\Vert f_n\Vert \le M$。

由 1.，$\Vert f_n\Vert =\underset{1\le k\le n}{\max }|y_k|$，故 $\underset{1\le k\le n}{\max }|y_k|\le M$，即 $\forall n\ge 1,|y_n|\le M$，故 $y\in {\ell }^{\infty }$。