2018-2

设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$T:X\to Y$ 为线性算子。设 $M\subset Y^{\prime }$ 足以区分 $Y$ 中任意两元素，即 $\forall x,y\in Y$ 若对于 $\forall f\in M$ 都有 $f(x)=f(y)$，则 $x=y$。对于任意 $f\in M,f\circ T\in X^{\prime }$。求证：$T\in B(X,Y)$

解答

假设 $x_n\to x\in X,T{x}_n\to y$，则 $\forall f\in M,f\circ T(x_n)\to f\circ T(x)=f(Tx)$ 且 $f\circ T(x_n)=f(T{x}_n)\to f(y)$，即 $f(Tx)=f(y)$，由 $M$ 足以区分 $Y$ 中任意两元素，$Tx=y$，即 $T$ 为闭算子。由闭图像定理，$T$ 为有界线性算子。