习题 4.11

设赋范空间 $X$ 包含 $n$ 个线性无关的元素, 求证: $X^{\prime }$ 也包含至少 $n$ 个线性无关的元素.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 为 $X$ 中 $n$ 个线性无关的元素。令 $M=\mathrm{span}\{x_1,\dots ,x_n\}$，则 $M$ 是 $X$ 的有限维子空间，因而是闭子空间。在 $M$ 上，任意线性泛函自动连续。

对每个 $i=1,\dots ,n$，定义 $f_i:M\to \mathbb{K}$（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）如下：对任意 $x={\sum }_{j=1}^n{a}_j{x}_j\in M$，令 $$f_i(x)=a_i.$$ 由于 $\{x_j\}$ 线性无关，表示系数唯一，故 $f_i$ 是良定义的线性泛函，且在有限维空间 $M$ 上连续。

由 Hahn–Banach 定理，存在连续线性泛函 $F_i\in X^{\prime }$ 使得 $F_i{|}_M=f_i$（且可保持范数，但此处延拓存在性已足够）。

现证 $\{F_1,\dots ,F_n\}$ 在 $X^{\prime }$ 中线性无关。设有标量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 使得 $$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{F}_i=0\text{(零泛函)}.$$ 则对任意 $x\in X$，${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i{F}_i(x)=0$。特别地，取 $x=x_j$（$1\le j\le n$），得 $$0=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{F}_i(x_j)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{f}_i(x_j)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\delta }_{ij}={\alpha }_j.$$ 因此 ${\alpha }_j=0$ 对所有 $j$ 成立，故 $\{F_i\}$ 线性无关。从而 $X^{\prime }$ 包含至少 $n$ 个线性无关的元素。∎