2018-4

设 $X$ 为 Banach 空间，$Y$ 为赋范空间，$T_n\in B(X,Y)$。设任取 $x\in X,\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n(x)$ 在 $Y$ 中存在，记 $Tx=\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n(x)$。求证：

1. $T\in B(X,Y)$，且存在常数 $C\ge 0$，使得任取 $n\ge 1$ 都有 $\Vert T_n\Vert \le C$
2. $\Vert T\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert$

解答

1. $T\in B(X,Y)$，且存在常数 $C\ge 0$，使得任取 $n\ge 1$ 都有 $\Vert T_n\Vert \le C$

已知 $T_{n}x\to Tx$，则 $\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_{n}x\Vert <\infty$。

由一致有界性原理，$\exists C\ge 0,\forall n\ge 1,\Vert T_n\Vert \le C$。

2. $\Vert T\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert$

由 1.，$\Vert T_{n}x\Vert \le \Vert T_n\Vert \Vert x\Vert \le C\Vert x\Vert$。令 $n\to \infty$，则 $\Vert Tx\Vert \le C\Vert x\Vert$，即 $\Vert T\Vert \le C$。又 $C$ 可取到 $\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert$，故 $\Vert T\Vert \le \underset{n\ge 1}{\sup }\Vert T_n\Vert$。