习题 15

证明：非空完备度量空间的第一范畴子集的余集必为第二范畴子集

解答

记 $(X,d)$ 为非空完备度量空间。

$N\subset X$ 为第一范畴子集，即 $N=\bigcup _{i\ge 1}{N}_i$，其中 $N_i$ 为无处稠密子集。

$\forall N_1,N_2$，其并为 $N_1\cup N_2=\bigcup _{i\ge 1}{N}_i\cup \bigcup _{j\ge 1}{N}_j$，故第一范畴子集的并仍为第一范畴子集。

由 Baire 定理，$X$ 本身为第二范畴的，故 $\forall N\subset X$，其余集 $N^c$ 必为第二范畴子集。