2012-5

$\Omega$ 为非空集合，$B(\Omega )$ 为定义在 $\Omega$ 上的有界线性泛函，$f\in B(\Omega )$，定义 $\Vert f\Vert =\underset{x\in \Omega }{\sup }|f(x)|$。求证：$\Vert \cdot \Vert$ 为 $B(\Omega )$ 上的范数，且构成完备的赋范空间。

解答

验证范数的四条性质：

1. $\Vert f\Vert =\underset{x\in \Omega }{\sup }|f(x)|\ge 0$，非负性成立
2. $\Vert f\Vert =0⟺|f(x)|\le 0⟺f(x)=0$，非退化性成立
3. $\Vert \alpha f\Vert =\underset{x\in \Omega }{\sup }|\alpha f(x)|=|\alpha |\underset{x\in \Omega }{\sup }|f(x)|=|\alpha |\Vert f\Vert$，齐次性成立
4. $\Vert f+g\Vert =\underset{x\in \Omega }{\sup }|f(x)+g(x)|\le \underset{x\in \Omega }{\sup }|f(x)|+\underset{x\in \Omega }{\sup }|g(x)|=\Vert f\Vert +\Vert g\Vert$，三角不等式成立

综上，$\Vert \cdot \Vert$ 为 $B(\Omega )$ 上的范数。

只须证明由范数诱导的度量 $d(f,g)=\Vert f-g\Vert$ 使之成为完备度量空间即可。

考虑 $B(\Omega )$ 中的 Cauchy 序列 $\{f_n\}$，即 $\forall \epsilon >0,\exists N\ge 1,\forall n,m\ge N,\Vert f_n-f_m\Vert <\epsilon$。

$\Vert f_n-f_m\Vert =\underset{x\in \Omega }{\sup }|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$，故 $\forall x\in \Omega ,\{f_n(x)\}$ 为 $\mathbb{C}$ 中的 Cauchy 序列。

$\mathbb{C}$ 为完备度量空间，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$。

下证 $f\in B(\Omega )$，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert f_n-f\Vert =0$。

$f:\Omega \to \mathbb{C}$，故 $f$ 为 $\Omega$ 上的复值函数。又 $\forall x\in \Omega ,\forall \epsilon >0,\exists N\ge 1,\forall n>N,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，进一步 $\Vert f_n-f\Vert =\underset{x\in \Omega }{\sup }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，故 $\Vert f\Vert \le \Vert f-f_n\Vert +\Vert f_n\Vert <\epsilon +\Vert f_n\Vert <\underset{n\ge 1}{\sup }\Vert f_n\Vert +\epsilon$，故 $f\in B(\Omega )$。

$\forall \epsilon >0,\exists N\ge 1,\forall n>N,\Vert f_n-f\Vert <\epsilon$，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert f_n-f\Vert =0$。

综上，$(B(\Omega ),\Vert \cdot \Vert )$ 是 Banach 空间。