赋范空间中的基本定理

Hahn-Banach 定理

次线性泛函 $p:X\to \mathbb{R}$，若

1. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$
2. $\forall x\in X,\alpha \ge 0,p(\alpha x)=\alpha p(x)$

Hahn-Banach 定理（1） 设 $X$ 为实线性空间，$p$ 为次线性泛函，$Z$ 为线性子空间，$f\in Z^{\ast }$，设 $f(x)\le p(x)$，则 $\exists g\in X^{\ast },g{\mid }_Z=f,g(x)\le p(x)$

半范数 $p:X\to \mathbb{R}$，若

1. $\forall x\in X,p(x)\ge 0$
2. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$
3. $\forall x\in X,\alpha \in \mathbb{K},p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$

Hahn-Banach 定理（2） 设 $X$ 为线性空间，$p$ 为半范数，$Z$ 为线性子空间，$f\in Z^{\ast }$，设 $f(x)\le p(x)$，则 $\exists g\in X^{\ast },g{\mid }_Z=f,g(x)\le p(x)$

Hahn-Banach 定理（3） 设 $X$ 为赋范空间，$Z$ 为线性子空间，$f\in Z^{\prime }$，则 $\exists g\in X^{\prime },g{\mid }_Z=f,\Vert g\Vert =\Vert f\Vert$

Hahn-Banach 定理（4） 设 $X$ 为赋范空间，$x_0\in X,x_0\ne 0$，则 $\exists f\in X^{\prime },\Vert f\Vert =1,f(x_0)=\Vert x_0\Vert$

$x_0=0⟹f(x_0)=0,\forall f\in X^{\prime }$

设 $X$ 为非零赋范空间，$x_0\in X$，则 $\Vert x_0\Vert =\underset{f\ne 0}{\max }\frac{|f(x_0)|}{\Vert f\Vert }=\underset{\Vert f\Vert \le 1}{\max }|f(x_0)|$

共轭算子 $T^{\ast }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$，$T^{\ast }(f)=f\circ T$

共轭算子的性质 设 $X,Y$ 为赋范空间，$T\in B(X,Y)$，则 $T^{\ast }\in B(Y^{\prime },X^{\prime })$，且 $\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$

典范映射 $J:X\to X^{\prime \prime },J(x)=g_x$，$g_x(f)=f(x)$

自反空间 $X$ 为自反空间，若 $J$ 为满射

设 $X$ 为赋范空间，$X^{\prime }$ 为可分空间，则 $X$ 为可分空间

一致有界性定理

一致有界性定理 设 $X$ 为 Banach 空间，$Y$ 为赋范空间，$(T_i{)}_{i\in I}\subset B(X,Y)$，若 $\forall x\in X,\underset{i\in I}{\sup }\Vert T_i(x)\Vert <\infty$，则 $\underset{i\in I}{\sup }\Vert T_i\Vert <\infty$

强收敛与弱收敛

开映射定理和闭图像定理

开映射 $T:X\to Y$ 为开映射，若 $\forall G\subset X$ 为开集，$T(G)=\{T(x):x\in G\}$ 为 $Y$ 的开集

开映射定理 设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$T\in B(X,Y)$，若 $T$ 为满射，则 $T$ 为开映射。若 $T$ 为双射，则 $T^{-1}\in B(Y,X)$

设 $X$ 为线性空间，$\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 为 $X$ 上的两个范数，且和 $X$ 构成 Banach 空间。若 $\exists \alpha >0,\Vert x{\Vert }_1\le \alpha \Vert x{\Vert }_2,\forall x\in X$，则 $\exists \beta >0,\Vert x{\Vert }_2\le \beta \Vert x{\Vert }_1,\forall x\in X$，即两个范数等价

闭算子 $T:D(T)\to Y$ 为闭算子，若 $G_T=\{(x,T(x)):x\in X\}$ 为 $X\times Y$ 的闭集

闭图像定理 设 $X,Y$ 为 Banach 空间，$D(T)\subset X$ 为闭线性子空间，$T:D(T)\to Y$ 为闭算子，则 $T$ 为有界线性算子

在逼近论中的应用