赋范空间中的基本定理

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Hahn-Banach 定理

次线性泛函

设 $X$ 为线性空间，函数 $p:X\to \mathbb{R}$ 称为次线性泛函，如果满足：

1. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$；
2. $\forall x\in X,\alpha \ge 0,p(\alpha x)=\alpha p(x)$.

半范数

设 $X$ 为线性空间，函数 $p:X\to \mathbb{R}$ 称为半范数，如果满足：

1. $\forall x\in X,p(x)\ge 0$；
2. $\forall x,y\in X,p(x+y)\le p(x)+p(y)$；
3. $\forall x\in X,\alpha \in \mathbb{K},p(\alpha x)=|\alpha |p(x)$.

实线性空间上的 Hahn-Banach 定理

设 $X$ 为实线性空间，$p$ 为 $X$ 上的次线性泛函，$Z$ 为 $X$ 的线性子空间，$f\in Z^{\ast }$ 满足
$$f(x)\le p(x),\forall x\in Z.$$ 则存在 $g\in X^{\ast }$ 使得 $g{|}_Z=f$，且
$$g(x)\le p(x),\forall x\in X.$$

复线性泛函的表示

设 $X$ 为复线性空间，$f\in X^{\ast }$，记 $f_1=\mathrm{Re}f$，则 $f_1\in X_{\mathbb{R}}^{\ast }$（$X$ 视为实线性空间）且
$$f(x)=f_1(x)-i{f}_1(ix),\forall x\in X.$$ 反之，给定 $f_1\in X_{\mathbb{R}}^{\ast }$，由上式定义的 $f$ 属于 $X^{\ast }$.

半范数控制的 Hahn-Banach 定理

设 $X$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上的线性空间，$p$ 为 $X$ 上的半范数，$Z$ 为 $X$ 的线性子空间，$f\in Z^{\ast }$ 满足
$$|f(x)|\le p(x),\forall x\in Z.$$ 则存在 $g\in X^{\ast }$ 使得 $g{|}_Z=f$，且
$$|g(x)|\le p(x),\forall x\in X.$$

赋范空间上的保范延拓定理

设 $X$ 为赋范空间，$Z$ 为 $X$ 的线性子空间，$f\in Z^{\prime }$（$Z$ 上的连续线性泛函）。则存在 $g\in X^{\prime }$ 使得 $g{|}_Z=f$，且 $\Vert g\Vert =\Vert f\Vert$.

非零连续线性泛函的存在性

设 $X$ 为赋范空间，$x_0\in X$，$x_0\ne 0$. 则存在 $f\in X^{\prime }$ 使得 $\Vert f\Vert =1$ 且 $f(x_0)=\Vert x_0\Vert$.

推论
设 $X$ 为非零赋范空间，$x_0\in X$，则
$$\Vert x_0\Vert =\underset{f\in X^{\prime },f\ne 0}{\max }\frac{|f(x_0)|}{\Vert f\Vert }=\underset{f\in X^{\prime },\Vert f\Vert \le 1}{\max }|f(x_0)|.$$

共轭算子

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T\in B(X,Y)$. 定义 $T^{\ast }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ 为
$$T^{\ast }(f)=f\circ T,f\in Y^{\prime }.$$ 则 $T^{\ast }\in B(Y^{\prime },X^{\prime })$，且 $\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$.

典范映射与自反空间

定义 $J:X\to X^{\prime \prime }$ 为
$$J(x)(f)=f(x),f\in X^{\prime }.$$ $J$ 是线性等距嵌入（$\Vert J(x)\Vert =\Vert x\Vert$），称为典范嵌入. 若 $J$ 是满射，则称 $X$ 为自反空间.

可分性的传递

设 $X$ 为赋范空间，若 $X^{\prime }$ 可分，则 $X$ 可分.

一致有界性定理

一致有界性定理（共鸣定理）

设 $X$ 是 Banach 空间，$Y$ 是赋范空间，$(T_i{)}_{i\in I}\subset B(X,Y)$. 如果对每个 $x\in X$ 有
$$\underset{i\in I}{\sup }\Vert T_i(x)\Vert <\infty ,$$ 则
$$\underset{i\in I}{\sup }\Vert T_i\Vert <\infty .$$

强收敛与弱收敛

强收敛

在赋范空间 $X$ 中，序列 $(x_n)$ 强收敛于 $x$（记作 $x_n\to x$）是指 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$.

弱收敛

在赋范空间 $X$ 中，序列 $(x_n)$ 弱收敛于 $x$（记作 $x_n\rightharpoonup x$）是指
$$\forall f\in X^{\prime },f(x_n)\to f(x).$$

弱*收敛

在对偶空间 $X^{\prime }$ 中，序列 $(f_n)$ 弱*收敛于 $f$（记作 $f_n\stackrel{\ast }{\to }f$）是指
$$\forall x\in X,f_n(x)\to f(x).$$

开映射定理和闭图像定理

开映射

设 $X,Y$ 为拓扑空间，映射 $T:X\to Y$ 称为开映射，如果 $X$ 中任意开集 $G$ 的像 $T(G)$ 是 $Y$ 中的开集.

开映射定理

设 $X,Y$ 是 Banach 空间，$T\in B(X,Y)$ 为满射，则 $T$ 是开映射. 特别地，若 $T$ 是双射，则 $T^{-1}\in B(Y,X)$.

等价范数定理

设 $X$ 是线性空间，$\Vert \cdot {\Vert }_1$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是 $X$ 上的两个范数，且 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 与 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 都是 Banach 空间. 若存在 $\alpha >0$ 使得
$$\Vert x{\Vert }_1\le \alpha \Vert x{\Vert }_2,\forall x\in X,$$ 则存在 $\beta >0$ 使得
$$\Vert x{\Vert }_2\le \beta \Vert x{\Vert }_1,\forall x\in X,$$ 即两个范数等价.

闭算子

设 $X,Y$ 为赋范空间，$T:D(T)\to Y$ 为线性算子，定义域 $D(T)\subset X$. 称 $T$ 为闭算子，如果其图像
$$G_T=\{(x,Tx):x\in D(T)\}$$ 是 $X\times Y$ 中的闭集.

闭图像定理

设 $X,Y$ 是 Banach 空间，$D(T)\subset X$ 是闭线性子空间，$T:D(T)\to Y$ 是闭算子，则 $T$ 是有界线性算子（即连续）.

在逼近论中的应用

（本章最后简要讨论了 Hahn-Banach 定理在逼近论中的若干应用，例如最佳逼近的存在性等.）