习题 14

设 $(X,d)$ 为度量空间，求证：$M\subset X$ 为无处稠密子集当且仅当 $(\overline{M}{)}^c$ 为 $X$ 的稠密子集。

解答

充分性

$M$ 无处稠密，即 $\overline{M}$ 无内点。

假设 $(\overline{M}{)}^c$ 不稠密，即 $\exists x_0,r$ 使得 $B(x_0,r)\cap (\overline{M}{)}^c=\varnothing$，即 $B(x_0,r)\subset \overline{M}$，即 $x_0$ 为 $\overline{M}$ 的内点，与 $\overline{M}$ 无内点矛盾。

故 $(\overline{M}{)}^c$ 稠密。

必要性

$(\overline{M}{)}^c$ 稠密，即 $\forall x_0\in X,r\in \mathbb{K},B(x_0,r)\cap (\overline{M}{)}^c\ne \varnothing$。

假设 $M$ 不是无处稠密子集，即 $\exists x_0\in X,r\in \mathbb{K},B(x_0,r)\subset M$ 为内点，则 $B(x_0,r)\cap (\overline{M}{)}^c=\varnothing$，与 $(\overline{M}{)}^c$ 稠密矛盾。

故 $M$ 为无处稠密子集。