2012-4

若 $(x_n)$ 是 Banach 空间 $X$ 中的序列，且对任意 $f\in X^{\prime }$，有 $(f(x_n))$ 有界，证明 $\Vert x_n\Vert$ 有界。

解答

考虑典范映射 $J:X\to X^{\prime \prime },x\mapsto g_x$，其中 $g_x(f)=f(x)$。

依题设，$\underset{n\ge 1}{\sup }|f(x_n)|<\infty$，故 $\underset{n\ge 1}{\sup }|g_x(f)|<\infty$，即 $g_x$ 有界。

由一致有界性定理，$\underset{x\in X}{\sup }\Vert g_x\Vert <\infty$，即 $\underset{x\in X}{\sup }\Vert J(x)\Vert <\infty$。

由典范映射的性质，$\Vert x\Vert =\Vert J(x)\Vert$，故 $\underset{x\in X}{\sup }\Vert x\Vert <\infty$。

故 $\Vert x_n\Vert$ 有界。