2018-1

设 $X$ 为 Hilbert 空间，$A$ 和 $B$ 都为从 $X$ 到 $X$ 的算子，任意 $x,y\in X$，都有 $⟨Ax,y⟩=⟨x,By⟩$。求证：

1. $A$ 和 $B$ 都为线性算子
2. $A$ 为单射当且仅当 $R(B)$ 在 $X$ 中稠密
3. $A$ 和 $B$ 都为有界线性算子

解答

1. $A$ 和 $B$ 都为线性算子

先验证 $A$ 为线性算子：

$$\begin{array}{rl}⟨A(x+y),z⟩& =⟨x+y,Bz⟩\\ & =⟨x,Bz⟩+⟨y,Bz⟩\\ & =⟨Ax,z⟩+⟨Ay,z⟩\\ & =⟨(Ax+Ay),z⟩\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}⟨A(\alpha x),y⟩& =⟨\alpha x,By⟩\\ & =\alpha ⟨x,By⟩\\ & =\alpha ⟨Ax,y⟩\\ & =⟨\alpha Ax,y⟩\end{array}$$

再验证 $B$ 为线性算子：

$$\begin{array}{rl}⟨x,B(y+z)⟩& =⟨Ax,y+z⟩\\ & =⟨Ax,y⟩+⟨Ax,z⟩\\ & =⟨x,By⟩+⟨x,Bz⟩\\ & =⟨x,(By+Bz)⟩\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}⟨x,B(\alpha y)⟩& =⟨Ax,\alpha y⟩\\ & =\overline{\alpha }⟨Ax,y⟩\\ & =\overline{\alpha }⟨x,By⟩\\ & =⟨x,\alpha By⟩\end{array}$$

2. $A$ 为单射当且仅当 $R(B)$ 在 $X$ 中稠密

充分性

假设 $R(B)$ 不稠密，即 $\exists x\in X\setminus \overline{R(B)}$。则由 Hahn-Banach 定理，$\exists f\in X^{\prime },f(x)=⟨x,By⟩$ 使得 $f(x)=1$ 且 $f{|}_{\overline{R(B)}}=0$。

见 $x_0$ is in the closure of $M$ iff there is no bounded linear functional on $X$

则 $⟨Ax,y⟩=f(x)=0,\forall x\in \overline{R(B)}$，即 $Ax=0$ 没有唯一解，即 $A$ 不为单射。

必要性

$R(B)$ 在 $X$ 中稠密，即 $\overline{R(B)}=X$，即 $\forall y\in X,\exists \{y_n\}\subset R(B),y_n\to y$。

取 $x\in X,Ax=0$，则 $\forall y\in X,⟨Ax,y⟩=⟨0,y⟩=0$，即 $\forall y\in X,⟨x,By⟩=0$。

$\forall y\in X$，则 $\exists \{y_n\}\in X$ 使得 $B{y}_n\to y$，则 $⟨x,y⟩={\lim }_{n\to \infty }⟨x,B{y}_n⟩=0$，即 $x=0$，即 $A$ 为单射。

3. $A$ 和 $B$ 都为有界线性算子

$\forall x_n\in X,x_n\to x,A{x}_n\to z$，有

$$\begin{array}{rl}⟨A{x}_n,y⟩& =⟨x_n,By⟩\\ \underset{n\to \infty }{\lim }⟨A{x}_n,y⟩& =\underset{n\to \infty }{\lim }⟨x_n,By⟩\\ ⟨Ax,y⟩& =⟨x,By⟩\\ ⟨z,y⟩& =⟨x,By⟩\\ & =⟨Ax,y⟩\end{array}$$

故 $Ax=z$，即 $R(A)$ 闭，进而 $A$ 为闭算子。由闭图像定理，$A$ 为有界线性算子。

同理可证 $B$ 为有界线性算子。