2022-2

设 $X$ 为赋范空间，$f$ 为 $X$ 上给定的非零有界线性泛函，令 $E=\{x\in X:f(x)=\Vert f\Vert \}$，求证：

1. $E$ 为 $X$ 的非空凸子集
2. 若 $\dim (X)\ge 2$，则 $f$ 为满射但不为单射，进而证明 $E$ 不为有界集
3. $\underset{x\in E}{\inf }\Vert x\Vert =1$

解答

1. $E$ 为 $X$ 的非空凸子集

先证 $E$ 非空。

由 $f$ 为非零有界线性泛函，故 $\exists x_0\in X,f(x_0)\ne 0$，再令 $x_1=\frac{x_0}{f(x_0)}\Vert f\Vert$，则 $f(x_1)=\Vert f\Vert$，故 $x_1\in E$，故 $E$ 非空。

再证 $E$ 为凸集。

取 $x,y\in E,\lambda \in [0,1]$，则有

$$\begin{array}{rl}f(\lambda x+(1-\lambda )y)& =\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\\ & =\lambda \Vert f\Vert +(1-\lambda )\Vert f\Vert \\ & =\Vert f\Vert \end{array}$$

故 $\lambda x+(1-\lambda )y\in E$，故 $E$ 为凸集。

2. 若 $\dim (X)\ge 2$，则 $f$ 为满射但不为单射，进而证明 $E$ 不为有界集

$\dim (X)\ge 2$，故 $\exists x_1,x_2\in X,x_1\ne x_2$，且 $x_1,x_2$ 线性无关。

类似 1.，可构造 $x_1,x_2$ 对应的 $x_1^{\prime },x_2^{\prime }\in E$，且 $x_1^{\prime },x_2^{\prime }$ 线性无关。

$f(x_1^{\prime }-x_2^{\prime })=f(x_1^{\prime })-f(x_2^{\prime })=\Vert f\Vert -\Vert f\Vert =0$，故 $x_1^{\prime }-x_2^{\prime }\in N(f)$，且 $x_1^{\prime }-x_2^{\prime }\ne 0$，故 $f$ 不为单射。

再证 $f$ 为满射。

取 $x_0\in X$ 使得 $f(x_0)\ne 0$，则 $\forall k\in \mathbb{K},f(\frac{k}{f(x_0)}{x}_0)=k$，故 $f$ 为满射。

再证 $E$ 不为有界集。

由 $\dim (X)\ge 2$，故可取线性无关的 $x_1,x_2\in X$，且可适当选取使 $f(x_1)\ne 0$。

若 $f(x_2)=0$，则 $\forall x\in E,\forall \lambda \in \mathbb{K},f(x+\lambda x_2)=f(x)+\lambda f(x_2)=\Vert f\Vert +0=\Vert f\Vert$，故 $x+\lambda x_2\in E$，且 $\Vert x+\lambda x_2\Vert =\Vert x\Vert +|\lambda |\Vert x_2\Vert$ 可以任意大，故 $E$ 不为有界集。

若 $f(x_2)\ne 0$，则 $f(x_1-\frac{f(x_1)}{f(x_2)}{x}_2)=0$，可类似上面的证明，故 $E$ 不为有界集。

3. $\underset{x\in E}{\inf }\Vert x\Vert =1$

$\forall x\in E$，有

$$\begin{array}{rl}f(x)& \le \Vert f\Vert \Vert x\Vert \\ \Vert f\Vert & \le \Vert f\Vert \Vert x\Vert \\ 1& \le \Vert x\Vert \end{array}$$

故 $\underset{x\in E}{\inf }\Vert x\Vert \ge 1$。