2009-3

$X$ 为赋范空间，$A:X\to X,B:X^{\prime }\to X^{\prime }$ 均为线性算子。任取 $x\in X,f\in X^{\prime }$ 有 $(Bf)(x)=f(Ax)$，求证：$A,B$ 都是有界线性算子。

解答

$X^{\prime }$ 为 Banach 空间，任取 $X^{\prime }$ 中的收敛列 $\{f_n\},f_n\to f,B(f_n)\to g$。由 $B(f_n)=f_n\circ A$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }B(f_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n\circ A=f\circ A$，故 $g=f\circ A=B(f)$，进而由闭图像定理，$B$ 为有界线性算子。

考虑典范映射 $J:X\to X^{\prime \prime },x\mapsto g_x$，其中 $g_x:f\mapsto f(x)$。

则 $\forall Ax\in X,|g_{Ax}(f)|=|f(Ax)|=|(Bf)(x)|\le \Vert B\Vert \Vert f\Vert \Vert x\Vert <\infty$，由一致有界性原理，$\underset{Ax\in X}{\sup }\Vert g_{Ax}\Vert <\infty$，即 $\underset{Ax\in X}{\sup }\Vert Ax\Vert <\infty$。