习题 5.9

设 $A,B\in B(X),\lambda \in \rho (A)\bigcap \rho (B)$. 求证: $$R(\lambda ,A)-R(\lambda ,B)=R(\lambda ,A)(B-A)R(\lambda ,B).$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：采用预解式的定义 $R(\lambda ,A)=(A-\lambda I{)}^{-1}$（此时 $\lambda \in \rho (A)$ 当且仅当 $A-\lambda I$ 可逆）。由于 $A,B\in B(X)$ 且 $\lambda \in \rho (A)\cap \rho (B)$，则 $R(\lambda ,A)$ 和 $R(\lambda ,B)$ 均为有界线性算子。

由逆算子的性质， $$(B-\lambda I)R(\lambda ,B)=I,R(\lambda ,A)(A-\lambda I)=I.$$

考虑 $$\begin{array}{rl}R(\lambda ,A)-R(\lambda ,B)& =R(\lambda ,A)((B-\lambda I)R(\lambda ,B))-(R(\lambda ,A)(A-\lambda I))R(\lambda ,B)\\ & =R(\lambda ,A)(B-\lambda I)R(\lambda ,B)-R(\lambda ,A)(A-\lambda I)R(\lambda ,B).\end{array}$$

提取公因式 $R(\lambda ,A)$ 和 $R(\lambda ,B)$，得 $$R(\lambda ,A)-R(\lambda ,B)=R(\lambda ,A)[(B-\lambda I)-(A-\lambda I)]R(\lambda ,B).$$

因为 $(B-\lambda I)-(A-\lambda I)=B-A$，所以 $$R(\lambda ,A)-R(\lambda ,B)=R(\lambda ,A)(B-A)R(\lambda ,B).$$

这就完成了证明。