习题 5.8

设 $A\in B(X)$ 满足 $A^2=A,A\ne 0,I$. 求证: $\sigma (A)=\{0,1\}$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：由于 $A^2=A$ 且 $A\ne 0,I$，$A$ 是非平凡的幂等算子（投影）。下面分两步证明 $\sigma (A)=\{0,1\}$。

第一步：$\sigma (A)\subseteq \{0,1\}$。

设 $\lambda \notin \{0,1\}$，我们构造 $(A-\lambda I{)}^{-1}$。注意到 $X=\mathrm{Im}A\oplus \mathrm{Ker}A$，且在 $\mathrm{Im}A$ 上 $A=I$，在 $\mathrm{Ker}A$ 上 $A=0$。定义 $$B=\frac{1}{1-\lambda }A-\frac{1}{\lambda }(I-A).$$ 直接计算可得对任意 $x\in X$， $$(A-\lambda I)B=(A-\lambda I)\left(\frac{A}{1-\lambda }-\frac{I-A}{\lambda }\right)=A+(I-A)=I.$$ 类似地 $B(A-\lambda I)=I$，故 $B=(A-\lambda I{)}^{-1}$。因此当 $\lambda \notin \{0,1\}$ 时，$A-\lambda I$ 可逆，从而 $\lambda \notin \sigma (A)$。于是 $\sigma (A)\subseteq \{0,1\}$。

第二步：$0,1\in \sigma (A)$。

• $0\in \sigma (A)$：若 $0\notin \sigma (A)$，则 $A$ 可逆。在等式 $A^2=A$ 两边左乘 $A^{-1}$ 得 $A=I$，与 $A\ne I$ 矛盾。故 $0\in \sigma (A)$。

• $1\in \sigma (A)$：若 $1\notin \sigma (A)$，则 $A-I$ 可逆。由 $(A-I)A=A^2-A=0$ 左乘 $(A-I{)}^{-1}$ 得 $A=0$，与 $A\ne 0$ 矛盾。故 $1\in \sigma (A)$。

综合第一步和第二步，即得 $\sigma (A)=\{0,1\}$。$\square$