习题 5.7

设 $A\in B(X),m\ge 1,\lambda$ 为 $A^m$ 的特征值. 求证: $\lambda$ 的某个 $m$ 次方根是 $A$ 的特征值.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $x\ne 0$ 满足 $A^{m}x=\lambda x$，即 $(A^m-\lambda I)x=0$。考虑多项式 $p(z)=z^m-\lambda$，在复数域上可分解为 $$p(z)=\prod _{k=1}^m(z-{\mu }_k),$$ 其中 ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_m$ 为 $\lambda$ 的 $m$ 次方根（即 ${\mu }_k^m=\lambda$）。将 $A$ 代入多项式，由多项式函数的演算可得 $$p(A)=A^m-\lambda I=\prod _{k=1}^m(A-{\mu }_{k}I),$$ 且各因子 $(A-{\mu }_{k}I)$ 彼此可交换。

假设对于每个 $k=1,\dots ,m$，算子 $(A-{\mu }_{k}I)$ 都是单射。由于它们可交换，我们归纳地证明其乘积也是单射：若 $S,T$ 单射且 $ST=TS$，则 $ST$ 单射（因为 $STx=0\Rightarrow Tx\in \ker S$，而 $S$ 单射故 $Tx=0$，又 $T$ 单射得 $x=0$）。因此 ${\prod }_{k=1}^m(A-{\mu }_{k}I)$ 为单射。但 $p(A)x=0$ 且 $x\ne 0$，这与单射性矛盾。

从而存在某个 $k$ 使得 $(A-{\mu }_{k}I)$ 不是单射，即存在非零向量 $y$ 满足 $(A-{\mu }_{k}I)y=0$，亦即 $Ay={\mu }_{k}y$。故 ${\mu }_k$ 是 $A$ 的特征值，而 ${\mu }_k$ 是 $\lambda$ 的一个 $m$ 次方根。证毕。