习题 5.6

设 $A:{\ell }^2\to {\ell }^2$ 定义为 $$A\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)=\left(x_2,x_3,x_4,\cdots \right).$$ 若 $|\lambda |=1$, 此时 $\lambda$ 还是 $A$ 的特征值吗?

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解答

若 $|\lambda |=1$，则 $\lambda$ 不是 $A$ 的特征值。证明如下：

设 $x=(x_1,x_2,x_3,\dots )\in {\ell }^2$ 满足 $Ax=\lambda x$，即 $$(x_2,x_3,x_4,\dots )=\lambda (x_1,x_2,x_3,\dots ).$$ 比较分量得 $x_{n+1}=\lambda x_n$ 对任意 $n\ge 1$ 成立。递推可得 $$x_n={\lambda }^{n-1}{x}_1(n\ge 1).$$ 于是 $$\Vert x{\Vert }_2^2=\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2=|x_1{|}^2\sum _{n=1}^{\infty }|\lambda {|}^{2(n-1)}.$$ 若 $|\lambda |=1$，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }|\lambda {|}^{2(n-1)}={\sum }_{n=1}^{\infty }1$ 发散，故要使级数收敛必须 $x_1=0$，从而 $x_n=0$ 对所有 $n$ 成立，即 $x=0$。因此不存在非零的 $x\in {\ell }^2$ 满足 $Ax=\lambda x$，$\lambda$ 不是 $A$ 的特征值。