习题 5.10

设 $A\in B(X),p$ 为多项式. 证明下述命题相互等价:

(1) 任取 $y\in X$, 存在唯一的 $x\in X$ 满足 $p(A)x=y$;

(2) 任给 $\lambda \in \sigma (A),p(\lambda )\ne 0$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明： 以下设 $X$ 为 Banach 空间，$A\in B(X)$，$p$ 为一多项式．

首先指出，条件 (1) 等价于 $p(A)$ 可逆．事实上，若 (1) 成立，则 $p(A)$ 为双射，由逆算子定理知 $p(A{)}^{-1}\in B(X)$，故 $p(A)$ 可逆；反之，若 $p(A)$ 可逆，则对任意 $y\in X$ 存在唯一 $x=p(A{)}^{-1}y$ 满足方程．因此以下只需证

$$p(A)\text{ 可逆}⟺\forall \lambda \in \sigma (A),p(\lambda )\ne 0.$$

为证此，先建立一个引理．

引理：设 $B,C\in B(X)$ 且 $BC=CB$．若 $BC$ 可逆，则 $B$ 和 $C$ 均可逆．

引理的证明：令 $D=(BC{)}^{-1}$，则 $D(BC)=(BC)D=I$．由 $B(CD)=I$ 知 $B$ 有右逆 $R=CD$；由 $(DB)C=I$ 知 $C$ 有左逆 $L=DB$．现证 $B$ 也可逆．因 $BR=I$，故 $R$ 是单射：若 $R{x}_1=R{x}_2$，则 $BR{x}_1=BR{x}_2$ 推出 $x_1=x_2$．又 $(RB-I)R=R(BR)-R=R-R=0$，由 $R$ 单射得 $RB-I=0$，即 $RB=I$．于是 $R$ 也是 $B$ 的左逆，从而 $B$ 可逆．既然 $B$ 可逆且 $BC$ 可逆，则 $C=B^{-1}(BC)$ 可逆（注意 $B^{-1}$ 与 $C$ 交换）．引理证毕．

利用引理可立即得到：若 $T_1,\dots ,T_n$ 两两交换且乘积 $T_1\cdots T_n$ 可逆，则每个 $T_i$ 可逆（对 $n$ 归纳即得）．

现在证明谱映射定理：

$$\sigma (p(A))=p(\sigma (A)).$$

设 $\mu \in \mathbb{C}$，将多项式 $p(z)-\mu$ 分解为

$$p(z)-\mu =a_n\prod _{i=1}^n(z-{\alpha }_i),$$

其中 ${\alpha }_i$ 为 $p(z)=\mu$ 的根（重根按重数列出）．于是

$$p(A)-\mu I=a_n\prod _{i=1}^n(A-{\alpha }_{i}I).$$

由于诸因子 $A-{\alpha }_{i}I$ 彼此交换，根据上述推广的引理，$p(A)-\mu I$ 可逆当且仅当每个 $A-{\alpha }_{i}I$ 可逆．因此

$$\mu \in \sigma (p(A))⟺\exists i\text{ 使 }A-{\alpha }_{i}I\text{ 不可逆}⟺\exists i\text{ 使 }{\alpha }_i\in \sigma (A).$$

而 ${\alpha }_i$ 满足 $p({\alpha }_i)=\mu$，故 $\mu \in p(\sigma (A))$．反之，若 $\mu =p(\lambda )$ 且 $\lambda \in \sigma (A)$，则 $\lambda$ 必为某个 ${\alpha }_i$，从而 $A-\lambda I$ 不可逆，得 $\mu \in \sigma (p(A))$．这就证明了 $\sigma (p(A))=p(\sigma (A))$．

现在完成等价性证明：

• 若 $p(A)$ 可逆，则 $0\notin \sigma (p(A))$．由谱映射定理 $0\notin p(\sigma (A))$，即对任意 $\lambda \in \sigma (A)$ 有 $p(\lambda )\ne 0$，此即 (2)．
• 若对任意 $\lambda \in \sigma (A)$ 有 $p(\lambda )\ne 0$，则 $0\notin p(\sigma (A))=\sigma (p(A))$，故 $p(A)$ 可逆，从而 (1) 成立．

综上，命题 (1) 与 (2) 等价．