习题 5.11

设 $X$ 为非零复 Banach 空间, $A\in B(X)$. 若存在 $m\ge 1$, 使得 $A^m=0$, 则称 $A$ 为幂零算子. 若 $A$ 为幂零算子, 求 $\sigma (A)$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

解 由于 $A$ 是幂零算子，存在正整数 $m$ 使得 $A^m=0$。

方法一（谱半径）
对任意 $n\ge m$ 有 $A^n=0$，从而谱半径
$$r(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert A^n{\Vert }^{1/n}=0.$$ 谱 $\sigma (A)$ 中任意数的模不大于 $r(A)$，故 $\sigma (A)\subseteq \{0\}$。
若 $A$ 可逆，则由 $A^m=0$ 可得 $A^{m-1}=A^{-1}{A}^m=0$，递推可得 $A=0$，进而 $I=0$，与 $X\ne \{0\}$ 矛盾，所以 $0\in \sigma (A)$。因此
$$\sigma (A)=\{0\}.$$

方法二（直接构造逆）
当 $\lambda \ne 0$ 时，因为 $A^m=0$，Neumann 级数截断为有限和：
$$(\lambda I-A{)}^{-1}={\lambda }^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }({\lambda }^{-1}A{)}^k=\sum _{k=0}^{m-1}{\lambda }^{-k-1}{A}^k,$$ 容易验证它是有界算子且确实为 $\lambda I-A$ 的逆，故 $\lambda \notin \sigma (A)$。因此 $\sigma (A)=\{0\}$。

综上，幂零算子 $A$ 的谱为 $\{0\}$。