习题 5.12

考虑 $B(X)$ 的子集 $G=\{A\in B(X):A$ 为一一映射 $\}$. 求证: $G$ 为 $B(X)$ 的开集.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：设 $X$ 是 Banach 空间．对任意 $A\in G$，$A$ 是双射．由开映射定理，$A$ 是开映射，从而其逆算子 $A^{-1}$ 存在且连续，故 $A^{-1}\in B(X)$．取 $\epsilon =\frac{1}{\Vert A^{-1}\Vert }>0$（若 $X=\{0\}$，结论平凡成立）．

对任意 $B\in B(X)$ 满足 $\Vert B-A\Vert <\epsilon$，令 $T=A^{-1}(B-A)$，则 $$\Vert T\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \Vert B-A\Vert <1.$$ 因此 $I+T$ 可逆，其逆由 Neumann 级数给出： $$(I+T{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(-T{)}^n\in B(X).$$ 于是 $$B=A+(B-A)=A(I+T)$$ 可逆，且 $B^{-1}=(I+T{)}^{-1}{A}^{-1}\in B(X)$，从而 $B$ 是双射，即 $B\in G$．

这说明以 $A$ 为中心、$\epsilon$ 为半径的开球包含于 $G$，故 $G$ 是 $B(X)$ 中的开集．∎