习题 5.13

设 $A,B\in B(X)$, 且 $AB=BA$. 求证: $$r(AB)=r(BA)\le r(A)r(B).$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

首先回忆谱半径的定义：对于 $T\in B(X)$， $$r(T)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert T^n{\Vert }^{1/n}.$$

1. 证明 $r(AB)=r(BA)$.

利用谱半径的极限表达式。对任意 $n\in \mathbb{N}$，有 $$(AB{)}^{n+1}=A(BA{)}^{n}B,$$ 从而 $$\Vert (AB{)}^{n+1}\Vert \le \Vert A\Vert \Vert (BA{)}^n\Vert \Vert B\Vert .$$ 取 $(n+1)$ 次根并令 $n\to \infty$，得到 $$r(AB)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert (AB{)}^{n+1}{\Vert }^{1/(n+1)}\le \underset{n\to \infty }{\lim }(\Vert A\Vert \Vert (BA{)}^n\Vert \Vert B\Vert {)}^{1/(n+1)}=r(BA),$$ 因为 $\Vert A{\Vert }^{1/(n+1)}\to 1$，$\Vert B{\Vert }^{1/(n+1)}\to 1$. 同理，由 $(BA{)}^{n+1}=B(AB{)}^{n}A$ 可得 $r(BA)\le r(AB)$. 故 $r(AB)=r(BA)$.

2. 证明 $r(AB)\le r(A)r(B)$.

由于 $AB=BA$，容易用归纳法证明对任意 $n\in \mathbb{N}$ 有 $(AB{)}^n=A^n{B}^n$. 事实上，$n=1$ 显然；假设 $(AB{)}^k=A^k{B}^k$，则 $$(AB{)}^{k+1}=(AB{)}^k(AB)=A^k{B}^{k}AB=A^k(B^{k}A)B=A^k(A{B}^k)B=A^{k+1}{B}^{k+1},$$ 其中用到了 $A$ 与 $B^k$ 可交换（由 $AB=BA$ 可得 $A$ 与 $B$ 的各次幂均交换）. 因此 $$\Vert (AB{)}^n\Vert =\Vert A^n{B}^n\Vert \le \Vert A^n\Vert \Vert B^n\Vert .$$ 取 $n$ 次根： $$\Vert (AB{)}^n{\Vert }^{1/n}\le (\Vert A^n\Vert \Vert B^n\Vert {)}^{1/n}=\Vert A^n{\Vert }^{1/n}\Vert B^n{\Vert }^{1/n}.$$ 令 $n\to \infty$，利用谱半径的极限公式即得 $$r(AB)\le r(A)r(B).$$

综上所述，在 $AB=BA$ 的条件下有 $$r(AB)=r(BA)\le r(A)r(B).$$