习题 5.3

设 $A\in B(X)$. 求证: 当 $|\lambda |\to \infty$ 时, $R(\lambda ,A)\to 0$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明
设 $A$ 是 Banach 空间 $X$ 上的有界线性算子，即 $A\in B(X)$。当 $|\lambda |>\Vert A\Vert$ 时，$\lambda I-A$ 可逆，且其逆算子（预解式）可表示为 Neumann 级数：

$$R(\lambda ,A)=(\lambda I-A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{A}{\lambda }\right)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }{\lambda }^{-(n+1)}{A}^n.$$

对上述级数取范数估计：

$$\Vert R(\lambda ,A)\Vert \le \sum _{n=0}^{\infty }|\lambda {|}^{-(n+1)}\Vert A{\Vert }^n=\frac{1}{|\lambda |}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{\Vert A\Vert }{|\lambda |}\right)}^n=\frac{1}{|\lambda |-\Vert A\Vert },$$

其中最后一步利用了几何级数求和公式，并需要 $|\lambda |>\Vert A\Vert$。当 $|\lambda |\to \infty$ 时，上式右端趋于 $0$，因此

$$\Vert R(\lambda ,A)\Vert \to 0,$$

即 $R(\lambda ,A)$ 按算子范数收敛到零算子。证毕。