习题 5.2

设 $a<b$. 求一个有界线性算子 $A\in B(C[0,1])$, 使得 $\sigma (A)=[a,b]$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

设 $C[0,1]$ 为定义在 $[0,1]$ 上的复值连续函数空间，赋予上确界范数 $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\sup }_{t\in [0,1]}|f(t)|$。
定义算子 $A:C[0,1]\to C[0,1]$ 如下：
$$(Af)(t)=\phi (t)f(t),t\in [0,1],$$
其中 $\phi (t)=a+(b-a)t$。

1. 线性性： 对任意 $f,g\in C[0,1]$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$，
$$A(\alpha f+\beta g)(t)=\phi (t)(\alpha f(t)+\beta g(t))=\alpha \phi (t)f(t)+\beta \phi (t)g(t)=\alpha (Af)(t)+\beta (Ag)(t),$$
故 $A$ 线性。

2. 有界性： 对任意 $f\in C[0,1]$，
$$\Vert Af{\Vert }_{\infty }=\underset{t\in [0,1]}{\sup }|\phi (t)f(t)|\le \underset{t\in [0,1]}{\sup }|\phi (t)|\cdot \Vert f{\Vert }_{\infty }=\max \{|a|,|b|\}\Vert f{\Vert }_{\infty },$$
因此 $A$ 有界，且 $\Vert A\Vert ={\sup }_{t\in [0,1]}|\phi (t)|=\max \{|a|,|b|\}$。

3. 谱的计算： 记 $\sigma (A)$ 为 $A$ 的谱。
对任意 $\lambda \in \mathbb{C}$，算子 $A-\lambda I$ 为乘法算子：
$$((A-\lambda I)f)(t)=(\phi (t)-\lambda )f(t).$$

• 若 $\lambda \notin [a,b]$：
  则对任意 $t\in [0,1]$，$\phi (t)-\lambda \ne 0$（当 $\lambda$ 为实数且不在 $[a,b]$ 时，$\phi (t)-\lambda$ 恒不为零；当 $\lambda$ 有非零虚部时，其模恒为正）。
  此时 $1/(\phi -\lambda )$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，因而有界。定义乘法算子 $B$ 为
  $$(Bg)(t)=\frac{1}{\phi (t)-\lambda }g(t).$$
  容易验证 $B$ 是 $(A-\lambda I)$ 的有界逆算子，故 $\lambda \in \rho (A)$（预解集）。

• 若 $\lambda \in [a,b]$：
  由 $\phi$ 的连续性及 $\phi ([0,1])=[a,b]$，存在 $t_0\in [0,1]$ 使得 $\phi (t_0)=\lambda$。
  对任意 $f\in C[0,1]$，有 $((A-\lambda I)f)(t_0)=(\phi (t_0)-\lambda )f(t_0)=0$，因此 $(A-\lambda I)$ 的值域包含于子空间
  $$\{g\in C[0,1]:g(t_0)=0\}.$$
  由于存在函数 $h\in C[0,1]$ 满足 $h(t_0)\ne 0$（例如 $h\equiv 1$），$h$ 不在该值域中，故 $A-\lambda I$ 不是满射，从而不可逆（不存在有界逆）。因此 $\lambda \in \sigma (A)$。

综上所述，$\sigma (A)=[a,b]$。