习题 5.4

设 $T_n,T\in B(X)$, 且 $\Vert T_n-T\Vert \to 0,{\lambda }_0\in \rho (T)$. 求证: 当 $n$ 足够大时, ${\lambda }_0\in \rho \left(T_n\right)$, 且 ${\lim }_{n\to \infty }R\left({\lambda }_0,T_n\right)=R\left({\lambda }_0,T\right).$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明

设 $X$ 为 Banach 空间，$T_n,T\in B(X)$ 且 $\Vert T_n-T\Vert \to 0$。取 ${\lambda }_0\in \rho (T)$，记 $A=R({\lambda }_0,T)=({\lambda }_{0}I-T{)}^{-1}\in B(X)$。

第一步：证明当 $n$ 充分大时 ${\lambda }_0\in \rho (T_n)$。

注意到 $${\lambda }_{0}I-T_n=({\lambda }_{0}I-T)-(T_n-T)=({\lambda }_{0}I-T)[I-({\lambda }_{0}I-T{)}^{-1}(T_n-T)]=({\lambda }_{0}I-T)[I-A(T_n-T)].$$ 因为 $\Vert T_n-T\Vert \to 0$，所以 $$\Vert A(T_n-T)\Vert \le \Vert A\Vert \Vert T_n-T\Vert \to 0.$$ 故存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时 $\Vert A(T_n-T)\Vert <1$。此时算子 $I-A(T_n-T)$ 可逆，其逆由 Neumann 级数给出： $$[I-A(T_n-T){]}^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }[A(T_n-T){]}^k,$$ 且满足估计 $$\Vert [I-A(T_n-T){]}^{-1}\Vert \le \frac{1}{1-\Vert A(T_n-T)\Vert }.$$ 于是 ${\lambda }_{0}I-T_n$ 可逆，且逆算子为 $$R({\lambda }_0,T_n)=[I-A(T_n-T){]}^{-1}A.$$ 因此 ${\lambda }_0\in \rho (T_n)$ 对一切 $n>N$ 成立。

第二步：证明预解式依算子范数收敛。

对于 $n>N$，计算 $$\begin{array}{rl}R({\lambda }_0,T_n)-R({\lambda }_0,T)& =[I-A(T_n-T){]}^{-1}A-A\\ & =([I-A(T_n-T){]}^{-1}-I)A.\end{array}$$ 利用 Neumann 级数展开， $$[I-A(T_n-T){]}^{-1}-I=\sum _{k=1}^{\infty }[A(T_n-T){]}^k.$$ 从而 $$\begin{array}{rl}\Vert R({\lambda }_0,T_n)-R({\lambda }_0,T)\Vert & \le \Vert A\Vert \sum _{k=1}^{\infty }\Vert A(T_n-T){\Vert }^k\\ & =\Vert A\Vert \cdot \frac{\Vert A(T_n-T)\Vert }{1-\Vert A(T_n-T)\Vert }.\end{array}$$ 当 $n\to \infty$ 时，$\Vert A(T_n-T)\Vert \to 0$，故上式右端趋于 $0$，即 $$\underset{n\to \infty }{\lim }R({\lambda }_0,T_n)=R({\lambda }_0,T)$$ 在算子范数意义下成立。$\square$