习题 5.23

考虑${\ell }^2$上的有界线性算子: $$A\left(x_1,x_2,x_3,\cdots \right)=\left({\lambda }_1{x}_1,{\lambda }_2{x}_2,{\lambda }_3{x}_3,\cdots \right).$$ 其中 ${\lambda }_i\in \mathbb{R}$ 为有界列, $a={\inf }_{i\ge 1},b={\sup }_{i\ge 1}{\lambda }_i$. 求证: 任取 $i\ge 1,{\lambda }_i\in {\sigma }_p(A)$. 问 : 在什么情形下有 $\sigma (A)=[a,b]$ ?

解答

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解答

1. 证明 ${\lambda }_i\in {\sigma }_p(A)$

对每个 $i\ge 1$，取标准基向量 $e_i=(0,\dots ,0,1,0,\dots )\in {\ell }^2$（第 $i$ 个分量为 $1$）。由于
$$A{e}_i=({\lambda }_1\cdot 0,\dots ,{\lambda }_i\cdot 1,\dots )={\lambda }_i{e}_i,$$ 故 ${\lambda }_i$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $e_i$。因此 ${\lambda }_i\in {\sigma }_p(A)$ 对一切 $i$ 成立。

2. 算子 $A$ 的谱

记 $\Sigma =\{{\lambda }_i:i\ge 1\}$，并令 $\overline{\Sigma }$ 为 $\Sigma$ 在 $\mathbb{R}$ 中的闭包。
由于 ${\lambda }_i\in \mathbb{R}$ 且 $\{{\lambda }_i\}$ 有界，$A$ 是有界自伴算子，其谱 $\sigma (A)$ 是 $\mathbb{R}$ 的非空紧子集。

断言　$\sigma (A)=\overline{\Sigma }$。

证明

• $\overline{\Sigma }\subseteq \sigma (A)$
  任取 $\lambda \in \overline{\Sigma }$，则存在子列 $\{{\lambda }_{i_n}\}$ 使得 ${\lambda }_{i_n}\to \lambda$。
  考虑向量 $x_n=e_{i_n}$，则 $\Vert x_n\Vert =1$，且
  $$\Vert (A-\lambda I)x_n\Vert =|{\lambda }_{i_n}-\lambda |\to 0.$$ 因此 $\lambda$ 属于 $A$ 的近似点谱，而近似点谱含于谱集，故 $\lambda \in \sigma (A)$。

• $\sigma (A)\subseteq \overline{\Sigma }$
  若 $\lambda \notin \overline{\Sigma }$，则存在 $\delta >0$ 使得 $|\lambda -{\lambda }_i|\ge \delta$ 对所有 $i$ 成立。
  定义算子 $B:{\ell }^2\to {\ell }^2$ 为 $(By{)}_i=\frac{y_i}{\lambda -{\lambda }_i}$。
  由于 $|(\lambda -{\lambda }_i{)}^{-1}|\le {\delta }^{-1}$，$B$ 是有界线性算子且 $\Vert B\Vert \le {\delta }^{-1}$。
  直接验证：对任意 $y\in {\ell }^2$，令 $x_i=\frac{y_i}{\lambda -{\lambda }_i}$，则 $x\in {\ell }^2$ 且 $(\lambda I-A)x=y$；反之，若 $(\lambda I-A)x=y$，则必有 $x_i=\frac{y_i}{\lambda -{\lambda }_i}$。
  因此 $B=(\lambda I-A{)}^{-1}$，即 $\lambda \in \rho (A)$。从而 $\sigma (A)\subseteq \overline{\Sigma }$。

综上，$\sigma (A)=\overline{\Sigma }$。

3. $\sigma (A)=[a,b]$ 的条件

由 $a=\inf \Sigma$，$b=\sup \Sigma$，可知 $\overline{\Sigma }\subseteq [a,b]$。
因此 $\sigma (A)=[a,b]$ 当且仅当 $\overline{\Sigma }=[a,b]$，亦即集合 $\Sigma$ 在区间 $[a,b]$ 中稠密。

等价表述：对任意 $c\in [a,b]$ 和任意 $\epsilon >0$，存在 $i$ 使得 $|{\lambda }_i-c|<\epsilon$。

注　若 $\Sigma$ 在 $[a,b]$ 中不稠密，则 $\sigma (A)$ 是 $\overline{\Sigma }$，它是 $[a,b]$ 的真闭子集（例如有限集、可数离散集、Cantor 集等），此时 $\sigma (A)\ne [a,b]$。