习题 5.22

设 $H$ 为非零 Hilbert 空间, $A\in B(X)$ 为自伴紧算子. 求证: ${\sigma }_p(A)\ne \varnothing$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

设 $H\ne \{0\}$ 为 Hilbert 空间，$A\in B(H)$ 是自伴紧算子。

若 $A=0$，则任取非零向量 $x\in H$ 有 $Ax=0=0\cdot x$，故 $0\in {\sigma }_p(A)$，从而 ${\sigma }_p(A)\ne \varnothing$。

若 $A\ne 0$，则 $\Vert A\Vert >0$。由于 $A$ 自伴，有 $$\Vert A\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|⟨Ax,x⟩|.\text{\hspace{1em}(1)}$$ （此式可由自伴算子的谱半径公式或直接估计得到：$|⟨Ax,x⟩|\le \Vert A\Vert$，并且利用单位球面上的向量可使 $\Vert Ax\Vert$ 任意接近 $\Vert A\Vert$，再注意 $\Vert Ax{\Vert }^2=⟨A^{2}x,x⟩$ 和 $A^2$ 的自伴性即得。）

由 (1) 存在单位向量序列 $\{x_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subset H$ ($\Vert x_n\Vert =1$) 使得 $$|⟨A{x}_n,x_n⟩|\to \Vert A\Vert (n\to \infty ).$$ 选取子列（仍记作 $\{x_n\}$）使得 $⟨A{x}_n,x_n⟩$ 收敛，记其极限为 $\lambda$，则 $|\lambda |=\Vert A\Vert >0$。此外，由不等式 $$|⟨A{x}_n,x_n⟩|\le \Vert A{x}_n\Vert \le \Vert A\Vert$$ 及两端的极限均为 $\Vert A\Vert$，可得 $\Vert A{x}_n\Vert \to \Vert A\Vert$。

现在估计 $$\Vert A{x}_n-\lambda x_n{\Vert }^2=\Vert A{x}_n{\Vert }^2-2\lambda ⟨A{x}_n,x_n⟩+{\lambda }^2.$$ 令 $n\to \infty$，右侧趋于 $\Vert A{\Vert }^2-2\lambda \cdot \lambda +{\lambda }^2=0$，故 $$\Vert A{x}_n-\lambda x_n\Vert \to 0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

因为 $A$ 是紧算子，$\{x_n\}$ 有界，所以 $\{A{x}_n\}$ 有收敛子列。由 (2) 易见相应的 $\{x_n\}$ 子列也收敛：设 $A{x}_{n_k}\to y$，则由 (2) 有 $\lambda x_{n_k}=A{x}_{n_k}-(A{x}_{n_k}-\lambda x_{n_k})\to y$。由于 $\lambda \ne 0$，得到 $x_{n_k}\to x:=y/\lambda$，且 $\Vert x\Vert =\lim \Vert x_{n_k}\Vert =1$，故 $x\ne 0$。

在关系 $A{x}_{n_k}-\lambda x_{n_k}\to 0$ 中取极限，利用 $A$ 的连续性得 $$Ax-\lambda x=0,$$ 即 $Ax=\lambda x$。因此 $\lambda$ 是 $A$ 的非零特征值，从而 ${\sigma }_p(A)\ne \varnothing$。

综上所述，无论 $A$ 是否为零算子，其点谱均非空。∎