习题 5.21

设 $H$ 是 Hilbert 空间, $M$ 为 $H$ 的闭线性子空间, $A$ 为从 $H$ 到 $M$ 上的正交投影. 求: $m_A$ 和 $M_A$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

对于 Hilbert 空间 $H$ 的闭子空间 $M$，记 $A=P_M$ 为正交投影算子。考虑数值范围 $$W(A)=\{(Ax,x):x\in H,\Vert x\Vert =1\},$$ 并定义 $$m_A=\inf W(A),M_A=\sup W(A).$$

由于 $A$ 是自伴算子，$W(A)\subseteq \mathbb{R}$。对任意单位向量 $x$，作正交分解 $x=y+z$，其中 $y\in M,z\in M^{\perp }$，则 $(Ax,x)=\Vert y{\Vert }^2=\Vert P_{M}x{\Vert }^2$。因为 $0\le \Vert P_{M}x\Vert \le \Vert x\Vert =1$，所以 $W(A)\subseteq [0,1]$。

分情形讨论：

1. $M=\{0\}$（零子空间）：此时 $A=0$。对任意单位向量 $x$，$(Ax,x)=0$，故 $W(A)=\{0\}$，从而 $m_A=M_A=0$。

2. $M=H$（全空间）：此时 $A=I$。对任意单位向量 $x$，$(Ax,x)=1$，故 $W(A)=\{1\}$，从而 $m_A=M_A=1$。

3. $\{0\}⊊M⊊H$：此时 $M$ 和 $M^{\perp }$ 均含有非零向量。

   • 取单位向量 $x\in M$，则 $(Ax,x)=1$，故 $1\in W(A)$。
   • 取单位向量 $x\in M^{\perp }$，则 $(Ax,x)=0$，故 $0\in W(A)$。
   • 对任意 $t\in (0,1)$，选择单位向量 $u\in M,v\in M^{\perp }$，令 $x=\sqrt{t}u+\sqrt{1-t}v$，则 $\Vert x{\Vert }^2=t+(1-t)=1$，且 $P_{M}x=\sqrt{t}u$，从而 $(Ax,x)=\Vert \sqrt{t}u{\Vert }^2=t$。因此 $t\in W(A)$。

   于是 $W(A)=[0,1]$，故 $m_A=0,M_A=1$。

综上所述：

• 若 $M=\{0\}$，则 $m_A=M_A=0$；
• 若 $M=H$，则 $m_A=M_A=1$；
• 否则 $m_A=0,M_A=1$。

在非退化的常见情形（$M$ 既非零也非全空间）下，有 $m_A=0,M_A=1$。