习题 5.20

设 $H$ 是 Hilbert 空间, $T\in B(H)$. 求证: $T$ 为到 $H$ 某一闭子空间的正交投影当且仅当 $T$ 为自伴算子且 $T$ 为幂等的, 即 $T^2=T$.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：

（⇒） 设 $T$ 是 $H$ 到某个闭子空间 $M$ 的正交投影算子，即对任意 $x\in H$，$Tx$ 是 $x$ 在 $M$ 上的正交投影。由正交投影的性质知 $T$ 是线性有界算子。下证 $T$ 满足 $T^2=T$ 且 $T^{\ast }=T$。

1. 幂等性：任取 $x\in H$，分解 $x=u+v$，其中 $u\in M$，$v\in M^{\perp }$，则 $Tx=u$。因为 $u\in M$，其正交投影仍是 $u$，故 $T^{2}x=T(Tx)=Tu=u=Tx$，从而 $T^2=T$。

2. 自伴性：任取 $x,y\in H$，作分解 $x=u+v$，$y=u^{\prime }+v^{\prime }$，其中 $u,u^{\prime }\in M$，$v,v^{\prime }\in M^{\perp }$。则 $$(Tx,y)=(u,u^{\prime }+v^{\prime })=(u,u^{\prime })+(u,v^{\prime })=(u,u^{\prime }),$$ 因为 $u\perp v^{\prime }$；又 $$(x,Ty)=(u+v,u^{\prime })=(u,u^{\prime })+(v,u^{\prime })=(u,u^{\prime }),$$ 因为 $v\perp u^{\prime }$。因此 $(Tx,y)=(x,Ty)$ 对一切 $x,y$ 成立，即 $T^{\ast }=T$。

（⇐） 设 $T\in B(H)$ 满足 $T^{\ast }=T$ 且 $T^2=T$。令 $$M=\mathrm{ran}T=\{Tx:x\in H\}.$$

第一步：证明 $M$ 是闭子空间。
由于 $T$ 幂等，容易验证 $M=\ker (I-T)$：

• 若 $x\in M$，则存在 $y$ 使 $x=Ty$，于是 $(I-T)x=Ty-T^{2}y=0$，故 $x\in \ker (I-T)$；
• 若 $x\in \ker (I-T)$，则 $x=Tx\in M$。
  而 $I-T$ 连续，其核 $\ker (I-T)$ 是闭集，因此 $M$ 是闭子空间。

第二步：证明 $\ker T=M^{\perp }$。
利用 $T$ 的自伴性：对任意 $x\in H$， $$x\in \ker T⟺Tx=0⟺(Tx,y)=0,\forall y\in H⟺(x,Ty)=0,\forall y\in H⟺x\perp M.$$ 故 $\ker T=M^{\perp }$。

第三步：验证 $T$ 是到 $M$ 的正交投影。
对任意 $x\in H$，分解 $$x=Tx+(I-T)x.$$ 由 $T^2=T$ 知 $T(Tx)=Tx$，故 $Tx\in M$；同时 $T((I-T)x)=(T-T^2)x=0$，即 $(I-T)x\in \ker T$。根据第二步，$\ker T=M^{\perp }$，所以 $(I-T)x\in M^{\perp }$。这表明 $x$ 被分解为 $M$ 中的向量 $Tx$ 与 $M^{\perp }$ 中的向量 $(I-T)x$ 之和，且分解是正交的。由正交投影的唯一性，$Tx$ 就是 $x$ 在闭子空间 $M$ 上的正交投影。因此 $T=P_M$。

综上，$T$ 是到 $H$ 的某一闭子空间的正交投影当且仅当 $T$ 自伴且幂等。